Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
d) Покажите, что с случае единственной неподвижной точки et е С томографию ф можно определить соотношением вида (ф (z) — a)~l = (z — а)""1 + /г, где h є С (ср. с упр. 15).
33. Определите все инволютивные томографии С.
34. Отождествим евклидову плоскость R2 с С и обозначим через D прямую с уравнением у = 0 (действительную ось).
a) Покажите, что томографии D отождествляются с гомо-графиями С вида г і—> (az + b)/(cz + d) с действительными а, Ь, с, d.
b) Пусть ф — гомография указанного вида без действительной неподвижной точки. Покажите, что тогда ф допускает пару комплексно сопряженных неподвижных точек а, ? и ее ограничение на D можно задать геометрически условием вида
(AM, AM') = 0, где А, М, M' — точки с аффиксами a, z, ф(-г), a 0 — заданный угол между прямыми. Как выбрать 0, чтобы гомография ф была инволютивной?
292
УПРАЖНЕНИЯ
35. (Двойное отношение четырех точек окружности.) Пусть 0і — евклидова плоскость, отождествленная с С выбором орто-нормированного репера 01.
a) Покажите, что замена репера сохраняет или заменяет на комплексно сопряженное двойное отношение аффиксов четверки точек в зависимости от того, имеет ли новый репер туже ориентацию, что и исходный, или нет. Покажите, что, с другой стороны, инверсия изменяет двойное отношение на его ком* плексно сопряженное.
b) Покажите, что двойное отношение аффиксов четырех точек A1 B1 C1 D1 лежащих на одной окружности Г, не зависит от выбора репера 01 (см. упр. 29) и равно двойному отношению* прямых (IA), (IB)1 (IC)1 (ID)1 соединяющих эти точки с произвольной точкой / окружности Г (примените инверсию с полюсом /). Обозначив это двойное отношение через [A1 Б, C1 D], покажите, наконец, что его абсолютная величина равна CA DB „
• -jj^jj-. Получите отсюда геометрическое доказательство того,.
что двойное отношение четырех коцикличных точек сохраняется
по абсолютной величине при преобразованиях инверсии. (Если
/ — инверсия с полюсом / и степенью к и Л', В' — образы то-
л г, Л, т>, I k I AB ч
чек A1 B1 то можно показать, что А В = -у-=—Jd- .)
36. Пусть A1 В — две точки на полуокружности с диаметром [PQl и Л', В' — их ортогональные проекции на прямую (PQ)> Покажите, что [A1 B1 P1 Q]2 = [Л', В\ P1 Q].
37. (Гармонические гомологии, сохраняющие квадрику.) Невырожденная квадрика Q проективного пространства P"(R) определена однородным уравнением вида q(xXl xn+i) = О, где q — невырожденная неопределенная квадратичная форма. Каждой точке S = p(s) пространства Рп (R) ставится в соответствие гиперплоскость Hs1 называемая полярной гиперплоскостью» точки S1 задаваемая уравнением B(X1S) = 0, где В — билинейная симметричная форма, соответствующая q.
Покажите, что точка, гармонически сопряженная с S отж> сительно точек пересечения с Q секущей, проведенной через S„ лежит в Hs. (Воспользуйтесь параметрическими уравнениями секущей.)
Выведите отсюда, что гармоническая гомология с центром S и гиперплоскостью #s сохраняет Q.
38. (Коники. Двойное отношение четырех точек.) Квадрика в P2 (R) называется коникой.
a) Пусть Г — коника в P2 (R); покажите, что существует система однородных координат, в которой Г имеет уравнение х2 + у2 = z2. Выведите отсюда, что любые две коники получаются друг из друга с помощью томографии.
b) Пусть A1 B1C1 D- четыре точки в P2 (R) и к є= R \ {0, 1}. Покажите, что множество точек M1 таких, что двойное отношение прямых MA1 MB1 MC1 MD равно kt является коникой, про-
УПРАЖНЕНИЯ
293
ходящей через точки A1 B1 C1 D. Каково уравнение такой коники, если принять четверку (A1B1 C1 D) за проективный репер?
с) Обратно, пусть A1 B1 C1 D — четыре точки коники Г. Покажите, что если M — точка Г, то двойное отношение прямых MA1 MB1 MC1 MD не зависит от M (можно с помощью томографии свести дело к случаю окружности, разобранному в упр. 35, или действовать прямым образом).
39. Пусть A1 В — две точки проективной плоскости. Биекция к пучка прямых с центром А на пучок прямых с центром В называется томографической, если существует прямая A0, не проходящая ни через A1 ни через В и такая, что точки M = = AfIA0 и ЛГ = ft(A) f|A0 находятся в томографическом соответствии.
a) Покажите, что в этом случае то же имеет место и для любой прямой A0, не проходящей ни через A1 ни через В.
b) В случае когда основное поле есть R, покажите, что геометрическое место точек пересечения прямых А и h (А) есть прямая или коника, смотря по тому, является ли прямая (AB) своим собственным образом или нет. (Можно использовать однородные координаты, в которых A= (1,0, 0) и B= (0, 0, 1).)
ГЛАВА V
1. Пусть 3*— плоскость аффинного типа и S)1 ЗЬ'— такие две ее прямые, что 3і = 3) U 3)'. Обозначим через A1 В две произвольные точки 3) и через А\ В' две произвольные точки 3)'\ покажите, что (AA') II (BB'), и выведите отсюда, что сводится к четырем точкам A1 B1 А', В'.
2. Пусть в плоскости & аффинного типа две прямые 3), 3)' пересекаются в точке О. Покажите, что в 3* существует точка, не лежащая ни на 3), ни на 3)' (постройте параллелограмм (OACB)1 такой, что А є 3) и В є= 3)').
