Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
выполнено (w — v) Oa + (и — w) O? + (v — и) Oy = 0.)
16. (Теорема Паппа.) Пусть в аффинной плоскости над некоторым полем (А, В, С) и (A', В', С)—две тройки коллинеарных точек, расположенные соответственно на прямых 3), 3)', пересекающихся в О (случай параллельности прямых 3), 3)' разобран в упр. 11).
a) Выбрав декартов репер (О, i, j) с началом О, такой, что і имеет направление 3), а / — направление 3)', положим OA = = (?"1, ОВ = $~\ ОС = у~\ Ш = а~\ OB7 =$'~~\ ОС7 = = у'~1. Напишите уравнения прямых (AB') и (BA') и найдите координаты точки их пересечения R.
b) Аналогичным образом найдите координаты точек P = = (BC)O(CB') и Q ^ (CA') (] (АС) и проверьте, что (??' —
- уу') OP + (yy' — аа') OQ + (сих' — ??') OR = O. Выведите отсюда заключение о коллинеарности точек Р, Q, R.
17. Пусть f — аффинная биекция аффинного евклидова пространства <8 на себя. Предположим, что существует сфера S с центром А и радиусом R, образом которой также служит сфера S' с центром А' и радиусом R'. Покажите, что A' = f(A) и что линейная часть / есть преобразование подобия. Выведите отсюда, что f — аффинное преобразование подобия.
18. Пусть ^ — множество, состоящее из окружностей ненулевого радиуса и прямых евклидовой плоскости &'.
a) Покажите, что элемент Ae^ — прямая тогда и только тогда, когда для любой пары (А, В) точек & существует элемент из %', проходящий через А и В и имеющий с А не более одной общей - точки. (Если IS — окружность, возьмите в качестве А внутреннюю, а в качестве В — внешнюю точку относительно А.)
b) Пусть f — биекция & на &, преобразующая всякую прямую или окружность снова в прямую или окружность. Покажите, что при этом условии / переводит прямые в прямые и окружности в окружности (воспользуйтесь предыдущим упражнением).
ГЛАВА IV
Проективные подпространства и проективные морфизмы
1. Пусть P(E)—проективное пространство размерности п и Ху Y — два его проективных подпространства, таких, что целое р = dim(X) + dim(Y) ^ п. Покажите, что Xf]Y не пусто и йіт(Х{]У) ^ р — п (воспользуйтесь упр. II. 2).
2. Пусть P (E) есть n-мерное проективное пространство над те-
11*
284
УПРАЖНЕНИЯ
лом К. Покажите, что отображение, определяемое в однородных координатах при заданном автоморфизме тела 8 условием (X0, ..., Xn) н—> (8 (X0), ..., 0 (Xn)), является полупроективным.
3. а) Пусть X — подмножество проективного пространства P(E). Покажите, что существует проективное подпространство P (E) — обозначим его L(X), содержащее X и такое, что любое проективное подпространство P (E), содержащее X, содержит также и L(X) (мы говорим, что L(X) есть проективное подпространство в P (E), порожденное X).
b) Покажите, что если H — проективная гиперплоскость и точка Л<=Р(?)\#, то H[J[A} порождает P(E).
c) Покажите, что n-мерное проективное пространство P(E) не может быть порождено конечным подмножеством мощности
и что [A0, Аи An} порождает P(E) тогда и только тогда, когда п + 1 точек Ai не лежат в одной проективной гиперплоскости.
4. (Проективные реперы.) Пусть E — векторное /(-пространство размерности п + 1. Назовем проективным репером пространства P(E) систему (Aq, Ai, An+1) из п + 2 точек, никакие «4-1 из которых не лежат в одной проективной гиперплоскости.
a) Покажите, что в E существует базис (?^)o</<rt. такой, что р(Єі) = Ai для і = 0, 1,...,ai и р(е0 4-... + еп) = An+1; установите, что любой другой базис, удовлетворяющий тем же условиям, имеет вид (^)о<*<я' гДе k^K*. Выведите отсюда, что однородные координаты в P (E) относительно этого базиса зависят только от выбора точек A-t (0 ^ і ^ п.+ 1). Их называют однородными координатами в проективном репере (Ai).
b) Пусть & — аффинное n-мерное пространство над телом К, (A0, An)— аффинный репер в ^ и An+1 — эквибарицентр точек Ao, ..., An (лежащий в бесконечности, если п кратно характеристике тела К). Покажите, что (A0, ..., An+1) является проективным репером <§ и что однородные координаты относительно этого репера суть продолжения барицентрических координат <8 в аффинном репере (A0, An).
5. Пусть P (E), P (F) — два проективных пространства одинаковой размерности п над одним и тем же телом К и (^)о<г</г+1, {^1)о<*<>г+1 ~ проективные реперы в этих пространствах (см. упр. 4)/
a) Покажите, что существует не менее одной томографии <р: P (E) -> P (F), такой, что ср(Л,) = Bi для всех и
b) Покажите, что такая гомография единственна тогда и только тогда, когда тело К коммутативно. (Это обобщение теоремы IV. 8.1, известное как «первая основная теорема проективной геометрии».)
6. (Обобщение понятий проектирования и гомологии.) Пусть (?) —проективное пространство и X, Y — два взаимно дополнительных ВПП пространства Е. Положим U = Р (Е)\(Р (Х)[) OP(Y)).
УПРАЖНЕНИЯ
285
a) Покажите, что через любую точку MeU проходит единственная проективная прямая Дм, пересекающая P (X) и P(K). (Указание: выберите z єр-1 (M) и разложите г в 2 « « л: + у, где хе= X, */€= Y.)
b) Для любого к є К обозначим через ф* морфизм, индуцированный полулинейным отображением fk, таким, что fk(x) = = кх для X & X и fk(y) = у для у Покажите, что для любой точки M ее U образ ф*(М) лежит на прямой Дм, и постройте геометрически q>k(M) при к = О и /г = —1 (при к = О это будет обобщением примера 1 из § 3, а при /г = —1 — обобщением гармонических гомологии).
