Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
1) Для упрощения мы применяем в этих упражнениях обыч* ное отождествление углов с их мерой в радианах.
296
УПРАЖНЕНИЯ
a) Покажите, что S = В'AC1 и выведите из этого, что S — развернутый угол, если удовлетворяет аксиоме E1 § 9.
b) Если & не удовлетворяет аксиоме Eu обозначим через а угол параллелизма А относительно прямой (ВС). Покажите, что тогда S ^ 2а.
9. Пусть !P — метрическая плоскость, не удовлетворяющая аксиоме Евклида. Назовем дефектом треугольника T = (ABC) число a(T) = я — (а -f ? -f у), где а, ?, у — углы треугольника.
Покажите, что если D — многоугольная область, разбитая на конечное число треугольников, то сумма дефектов этих треугольников не зависит от выбранного способа разбиения (рассмотрите сначала случай, когда D — треугольная область).
Обозначим эту сумму через 6(D); теория меры показывает, что площадь многоугольной области D имеет вид ko(D), где k = const (площадь подчинена условию инвариантности при изо-метриях).
Приложения, а) Если 0 — модель Пуанкаре, покажите, что k= 1 (примените упр. 14).
Ь) Используя упр. 16, покажите, что в гиперболической плоскости существуют четырехугольники, площадь которых больше площади любого треугольника: такой четырехугольник не может быть заключен в треугольной области.
Модель Пуанкаре (см. § 12)
В упр. 10—14 через 0 обозначена полуплоскость Пуанкаре, снабженная гиперболической метрикой.
10. Пусть 3), 3)' — пара гиперболических прямых в 0і, представленных евклидовыми полуокружностями, не пересекающимися и не касающимися.
a) Покажите, что существует единственная гиперболическая прямая Л, перпендикулярная одновременно к 3) и SD'.
b) Покажите, что существуют две осевые симметрии, переводящие SD и 3)' друг в друга.
c) Пусть А — точка 0>, не принадлежащая ни SD1 ни SD', ни их общему перпендикуляру, и пусть В, С — точки, симметричные А относительно прямых SD, 3)'. Покажите, что точки А, В, С не лежат на одной прямой и через них не проходит никакая гиперболическая окружность. (Отсюда выводится, что аксиома Евклида равносильна утверждению: через любые три некол-линеарные точки проходит окружность.)
d) Пусть гиперболические прямые SD, SD' в 0і представлены касающимися евклидовыми полуокружностями. Покажите, что существует единственная осевая симметрия, переставляющая ЗУ и SD', и у SD1 SD' нет общего перпендикуляра.
11. Пусть 3), SD' — две гиперболические прямые, представленные евклидовыми полуокружностями с диаметрами [AB], [А'В'] соответственно.
УПРАЖНЕНИЯ
297
a) Покажите, что ф и пересекаются тогда и только тогда, когда отрезки [AB] и имеют хотя бы одну общую внутреннюю точку.
b) Предположим, что 3) и пересекаются в точке / и обозначения выбраны так, что точки В я А' принадлежат отрезку [ЛВ']. Покажите, что через точку $Р, внутреннюю по отношению к евклидову диску с диаметром не проходит никакая гиперболическая прямая, пересекающая обе гиперболические полупрямые (IВ( и (IA'(. (Отсюда выводится, что аксиома Евклида равносильна утверждению: через любую точку углового сектора проходит хотя бы одна прямая, пересекающая стороны этого сектора.)
12. а) Пусть M — точка & с кординатами a, b и 3)— гиперболическая прямая (х = 0, у > 0) в 0і. Найдите проходящую через M прямую, гиперболически ортогональную к 3), и проверьте, что расстояние от M до 3) равно d = = In ((a2 + b2) 4- а) — In Ь. (Примените упр. IV. 36.)
Ь) Покажите, что пересекающие 3) полупрямые с началом в M — это те прямые, которые принадлежат открытому угловому сектору, ограниченному полупрямой Mx, лежащей на прямой X = а, и дугой евклидовой окружности, касательной к Oy в точке О. Выведите отсюда, что угол параллелизма а в точке M относительно прямой 3) равен а — 2 arctge-d.
13. Предположим, что любая метрическая плоскость 0, неудовлетворяющая аксиоме Евклида, допускает биекцию f на полуплоскость Пуанкаре ?Р0, удовлетворяющую условиям
<V (А, В) єе 02) d [f (A), f(B)]=*-^d (А, В), где R = const.
Покажите, что отображение f конформно (т. е. соответственные углы имеют одинаковую радианную меру). Выведите из этого выражение а = 2 arc tg e~d/R для функции Лобачевского (см. упр. 7).
14. В полуплоскости Пуанкаре ?Р три-асимптотическим треугольником называют фигуру, образованную тремя гиперболическими прямыми, представленными тремя ортогональными к х'х попарно касающимися полуокружностями или полупрямыми.
a) Покажите, что два любых трн-асимптотических треугольника изометричны (постройте томографию, переводящую одну тройку точек х'х в другую).
b) Покажите, что площадь три-асимптотического треугольника равна я (она выражается несобственным интегралом f f dxdy
J J —РаспР0СТРаненным на внУтРенность треугольника).
(Отсюда можно получить, что площадь треугольника с углами а, ?, у равна я — (а -f- ? •f у).)
298
УПРАЖНЕНИЯ
Другая конформная модель гиперболической геометрии
15. Каждой точке M полуплоскости Пуанкаре с аффиксом z = X + і у (у >> 0) поставим в соответствие точку /(M) в R2" с аффиксом Z = (z— і)I(г+і).