Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
a) Покажите, что / является биекцией 3* на единичный круг 3), определенный неравенством \Z\ <. 1, и что образам» гиперболических прямых из 3і являются пересечения с 3) прямых, проходящих через O1 и окружностей, ортогональных единичной окружности U (определяемой условием |Z| = 1).
b) С помощью этой биекции перенесите на 3) гиперболическую метрику, определенную на &. Проверьте, что расстояние между двумя точками А, В в 3) равно d(A,B) = 1п[Л, В, P1 Q]b где P1 Q — точки пересечения с U окружности или прямой, ортогональной U и проходящей через А, В (см. упр. IV. 35).
c) Покажите, что евклидовы вращения вокруг центра О сохраняют это расстояние и что гиперболический угол между двумя диаметрами 3) равен евклидову углу между ними (вспомните, что / конформно). В последующих упражнениях круг 3)у снабженный расстоянием, определенным в Ь), будет называться «гиперболическим кругом».
16. Пусть Y — гиперболическая прямая, представленная в гиперболическом круге 3) дугой окружности радиуса г с центром /, ортогональной к U (см. упр. 15), и пусть уи у2 — образы Y при вращениях вокруг О на углы ±2я/3.
а) Какому условию должно удовлетворять г для того, чтобы у пересекалась с Yi и Уг/ (Напомним, что OP — г2 + 1.) Положим тогда А = у (] уи В = у (] у2, С = Yi П Y2; проверьте» что углы гиперболического треугольника (ABC) со сторонами-
CL Л/ 3 / 9 \ 1 /о
Y, Yb Y2 все равны а, причем cos-у = -^—(г +Ij'. (Можна
вычислить синус угла OAI в евклидовом треугольнике (OAI).)
Выведите отсюда, что для любого действительного a ^ є]0, я/3[ можно построить гиперболический треугольник, все углы которого равны а; покажите, что существует четырехугольник (полученный объединением двух треугольников) с суммой углов <я.
Модель Бельтрами
17. Обозначим через / инверсию R3 с полюсом S(0,0,—1) и степенью 2 и через р ортогональную проекцию (х, у, z) 1—> (хг у, 0). Пусть, наконец, 3) обозначает единичный круг в плоскости z = 0, снабженный гиперболической метрикой d (ш упр. 15).
a) Покажите, что ограничение / отображения р ° / на ЗУ является биекцией, и вычислите координаты точки /(M) как функции от координат М.
b) Покажите, что образ гиперболической прямой в 3) при отображении / есть интервал евклидовой прямой.
c) Любой паре (A1 В) точек 3) поставлено в соответствие число ^(A1 В) = d[j-l(A)1f"l(B)]1 где d обозначает гиперболи-
УПРАЖНЕНИЯ
299
ческое расстояние. Покажите, что 6(A1B) = Vj In [A1 B1 P1 Q], где P1 Q — точки пересечения евклидовой прямой (AB) с единичной окружностью U. (Обозначим С = M(A)9 D = f~l(B)\ упр. IV. 36 докажет, что [А, В, Р, Q] «= [/(С),/(І)), Р, Q]2, и останется применить результат упр. IV. 35, Ь).)
Круг Іі, снабженный метрикой б, называется моделью Бель-трами гиперболической плоскости.
d) Покажите, что расстояние между двумя точками А, В s 3) задается в модели Бельтрами формулой
ch o (А, В) = •
(1-^/2(1-OF)1'2
где OA • OB обозначает евклидово скалярное произведение (воспользуйтесь параметризацией прямой (AB)).
е) Покажите, что осевые симметрии круга Бельтрами представляются гармоническими гомологиями проективного пополнения R2 с центром вне 3D и с осью, служащей полярой центра относительно окружности U1 рассматриваемой как коническое сечение (см. упр. IV. 37).
18. Теорема Брианшона.
a) Покажите, что в любой метрической плоскости 0і биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.
b) Дайте истолкование этого результата в модели Бельтрами ^выберите точку О в круге Бельтрами и точки P1 Q на единичной окружности U и покажите, что биссектриса внутреннего угла между полупрямыми (OPf1 (OQ ( представляется прямой, соединяющей точку О с точкой пересечения касательных к U в точках P1 Q).
c) Выведите из этого, что диагонали шестиугольника, стороны которого касаются одной и той же коники на проективной плоскости, пересекаются в одной точке (можно предположить, что коника определяется однородным уравнением вида х2 + у2 = z2, и отождествить ее с окружностью, см. упр. IV. 38).
19. Теорема Паскаля. Из предыдущего результата выведите по принципу двойственности теорему Паскаля (обобщающую теорему Паппа в P2 (R)): если A1 B1 C1 А\ В', С — шесть точек на одной и той же конике, то точки P = (ВС) f| (CB'), Q = = (CA') П (AC)1 R = (AB') П (BA') лежат на одной прямой.
20. Пусть SD — круг Бельтрами.
a) Покажите, что гиперболический угол между двумя диаметрами SD имеет ту же меру, что и евклидов угол между ними.
b) Пусть P1 Q — две точки на единичной окружности U н А — гиперболическая прямая, представленная открытым интервалом ]л Q[. Выразите гиперболическое расстояние d от О до А с помощью евклидова расстояния г; проверьте, что угол
300
УПРАЖНЕНИЯ
параллелизма А относительно точки О есть
a = V2POQ, tg IL=* е~а.
с) Покажите, что это общая формула в S).
21. Гиперболическая тригонометрия. Ставится задача доказать, что углы а, ?, у и гиперболические длины сторон а, Ь, с треугольника (ABC) в круге Бельтрами S) связаны соотношением