Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
b) Покажите, что если / перестановочно со всеми автоморфизмами E1 то / имеет вид X і—> Ux1 где k є К (воспользуйтесь предыдущим упражнением). Выведите отсюда, что центр GL(E) состоит из отображений х і—>kx, где кфО принадлежит центру К.
c) Исследуйте случай dim (Я) = 1.
17. Пусть E — векторное пространство, X1 Y — два его ВПП и /Y0, У0 — их аннуляторы (подпространства в ?*). Установите соотношение (X f) Y)0 = Х°-\-Y0 (см. предложение II. 6.3).
Указание: для f є (Xf] Y)0 рассмотрите ограничения / на ВПП Lf]X1 Lf]Y1 где L обозначает дополнительное к Xf]Y подпространство, и воспользуйтесь предложением II. 4.2 для получения разложения f в / = g + К где ^gI0 и /іє У0.
18. Пусть E — векторное пространство над полем KnB—^ такая билинейная форма на E1 что из B(X1 у) =0 следует В (у;х) = 0.
a) Проверьте, что для любых (X1 у> z) єе E3 выполняется В [х, В (X1 z) у — В (X1 у) Z] = O1 и выведите из этого, что В (xt z) В (у, х) = В (xf у) В (Z1 х). Затем покажите, что если В(х, у)фВ(уу х), то В (X1 х) = В (у, у)=0.
b) Предположим, что существует пара (х, у) є E2, такая, что В(у,х) ф B(X1 у). Покажите, что для любого z^E, для которого B(X1Z) Ф 0, верно также В(х, г) ф B(Z1X)1 и потому B(z,z) = 0.
c) Снова предположив, что В(уух) ф В(X1 у), покажите, что для z є E1 для которого В(х, z) = B(yf z) = 0, выполнено также равенство В (у+ Z1 у-\-z) == 0. Получите отсюда снова, что B(Z1Z) = 0.
d) Выведите из предыдущего, что
либо (v (X1 у) є= E2) В (X1 у) = В (у, х), либо (Vz є= E) В (Z1 z) = 0,
УПРАЖНЕНИЯ
и покажите, что во втором случае
(v (je, у) є E2) В (х, у)+ В {у, X) = 0.
19. (Примеры свободных семейств в случае бесконечной размерности.)
a) Покажите, что функции fa: R-f_->R, х\—> ха (а є R+) образуют свободное семейство в пространстве отображений R-f. в R. (Исследуйте поведение на бесконечности некоторой линейной комбинации /а.)
b) Пусть для каждого asR функция fa: R -> R задана как fa(x) = \х — а\. Покажите, что функции {а образуют свободное семейство в пространстве отображений RbR.
(Покажите, что функция вида Я,-/а>, где К. — действительные числа, не равные одновременно нулю, не может быть всюду дифференцируемой и, значит, не может тождественно равняться нулю.)
ГЛАВА III
1. Пусть f — биекция множества X в себя и А—подмножество в X. Покажите, что в каждом из следующих случаев включение f(A) cz А влечет f(A) = А:
a) А конечно:
b) X является векторным пространством, / — автоморфизмом X и А — ВПП конечной размерности,
c) X — аффинное пространство, / — аффинная биекция X на X \\ А — ЛАМ конечной размерности в Х\
d) X — аффинное пространство, / — аффинная биекция X на А" и Л — гиперплоскость в Х\
e) X — нормированное векторное пространство, / — биективная векторная изометрия X и А — шар или сфера в X (воспользуйтесь тем фактом, что ограниченное множество не может иметь более одного центра симметрии).
2. Пусть Fi, Y2 — два конечномерных ЛАМ аффинного пространства над телом КфХ2. Покажите, что YW)Yz будет ЛАМ только в том случае, если Yx cz Y2 или Y2 cz Yi. (Случай, когда YiClY2 не пусто, сводится к векторному; если YiC[Y2 пусто, то можно применить теорему III.4.8.)
3. Пусть Y\, Y2 — два конечномерных ЛАМ аффинного пространства #\ Покажите, что размерность Aff (Y\ U Y2) равна dim (Yi) -f dim (Y2) — dim (Yx П Y2), если YxC]Y2 не пусто, и dim (Yi) + dim (Y2) + 1, если YxCiY2 пусто (примените упр. II. 2; последнее утверждение дает основание считать, что пу* стое подмножество есть ЛАМ размерности —1).
4. Постройте теорию линейных аффинных многообразий, осно* вываясь на одном из следующих определений:
280
УПРАЖНЕНИЯ
a) Непустое подмножество Tag является ЛАМ, если
множество векторов PQ, для которых (P1 Q) є Y2, является векторным пространством.
b) Непустое подмножество Y а <о является ЛАМ, если барицентр любой системы взвешенных точек <2? с носителем в Y, содержится в Т.
5. Пусть <§ — аффинное пространство, т — трансляция <§ на вектор и и / — аффинная биекция ^ на ^ с линейной частью ЦП = Ф-
a) Покажите, что / ° т ° f~l есть трансляция на вектор ф(и), и выведите отсюда условие перестановочности / их.
b) Воспользуйтесь этим результатом для построения инво-лютивных аффинных биекции <8 в случае основного тела характеристики 2 (обратитесь к упр. II. 4 и используйте то, что трансляции и трансвекции инволютивны).
6. Пусть <§г — аффинное пространство над телом характеристики Ф2 и s — аффинная симметрия <8 в направлении W относительно ЛАМ Т.
a) Покажите, что если т — трансляция на вектор и є W, то s0tht0s являются аффинными симметриями.
b) Пусть f — аффинная биекция Ж с инволютивной линейной частью. Покажите, что f получается как коммутативное произведение аффинной симметрии и трансляции на вектор иш инвариантный при действии L(f) (примените пункт а) предыдущего упражнения).
7. Пусть <2? — аффинное пространство над телом характеристики 2. Покажите, что если (ABCD) — параллелограмм, то каждая его вершина является эквибарицентром трех остальных. Получите отсюда доказательство части Ь) теоремы III. 5.4.
