Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
c) Приведите пример трех ВПП в R2, таких, что Ex (] E2 П (] E3=(O}, но Ei + E2 + ?з не является прямой суммой.
d) Допустим, что все подпространства Я/ конечномерны.
V
Покажите, что ]Г ?/ является прямой суммой тогда и только i = 1
тогда, когда dim (/7) = dim (Et).
i=[
7. Пусть ? — векторное пространство и X — его ВПП коразмерности р (т. е. такое, что dim{E/X) = р). Покажите, не применяя аксиому Цорна, что X допускает дополнительное подпространство размерности р.
8. Пусть E — векторное пространство и V — его ВПП, такое, что для любого ВПП XaE размерности р выполнено условие dim(VCl X) 1. Покажите, что коразмерность V не превосходит р — 1 (проведите рассуждение методом от противного, предположив, что существуют р элементов х\, ..., хр пространства Et таких, что их классы по модулю V независимы, и рассмотрите пересечение VcX = Vect(#i.....хр)),
9. Пусть Н\, H2 — две гиперплоскости одного и того же векторного пространства Е. Покажите, что существует векторная прямая, одновременно дополнительная к Hx и H2 (можно использовать упр. 1, и тогда упр. 12 позволит вывести заключение о существовании инволютивного автоморфизма Е, переставляющего Hx и H2).
10. Пусть E — векторное пространство и Xt Y— два его ВПП одинаковой конечной размерности. Покажите, что X, Y допускают общее дополнительное подпространство. (Можно построить
базис X + Y вида (ех.....ek, а{.....aq, b\.....bq)y такой,
что (еи ..., вк) будет базисом X Л Y, (elt ..., аи ..., ая) — базисом X и (ей ,.., ek, Ьи ..., Ья) — базисом У. Если L —
УПРАЖНЕНИЯ
277
подпространство, дополнительное к X-J-Y1 то L+Vect(ai -(- b\, .., л.., aq -\- bq) будет дополнительным к А' и к У.)
11. а) Пусть E — векторное пространство, X — его ВПП и / — автоморфизм X. Покажите, что существует автоморфизм g пространства E1 ограничение которого на X совпадает с /; кроме того, если / инволютивно, то можно и на g наложить условие инволютивности (воспользуйтесь подпространством, дополнительным к X).
Ь) Пусть X1 У— два ВПП пространства E одинаковой конечной размерности и f — изоморфизм X на У. Покажите, что f продолжается до автоморфизма E (примените упр. 10).
12. Пусть E — векторное /(-пространство и Л', У— два его ВПП, допускающие общее дополнительное подпространство L. Обозначим через р проектирование E на У в направлении L.
a) Покажите, что существует автоморфизм f пространства E1 такой, что f\x = р\х к }\l = —-Hl.
b) Покажите, что для всех (x1 у) <= X X У, таких, что x — у є L1 выполняется f(x) = у и f(y) = Выведите отсюда, что / инволютивен и меняет местами X и У.
c) Предположим, что характеристика К отлична от 2. Покажите, что / — симметрия в направлении L. Как построить мно* жество неподвижных точек /, исходя из X1 Y и L?
Приложение. Для двух заданных гиперплоскостей X1 У или двух ВПП в E одинаковой конечной размерности установите существование переставляющего их инволютивного автоморфизма E (воспользуйтесь упр. 9 и 10).
13. Пусть E — левое векторное пространство над телом К к f — полулинейное отображение E в К, ассоциированное с внутренним автоморфизмом 9 тела К. Проверьте, что 8"1 о/¦—линейная форма, и выведите отсюда, что ядром / является гиперплоскость.
14. (Трансвекции.) Пусть E — векторное пространство и Я = = Ker h — гиперплоскость в Е.
a) Покажите, что эндоморфизмы f пространства E1 такие, что f(x) = x для всех x^H1 имеют вид fa: х\—> х + h (х) а, где а е E (выбрав b е E \Н, мы увидим, что а можно выбрать таким образом, чтобы выполнялось fa(b) ==/(6), и тогда fa = /)« Если аєЯ, то fa называется трансвекцией гиперплоскости Я; если а^Н, то fa иногда называют дилатацией 1J или аффинитетом.
b) Как нужно выбирать а, чтобы fa было автоморфизмом (соотв. инволютивным) ?
c) Покажите, что произведение двух симметрии в различных направлениях относительно гиперплоскости H является трансвекцией этой гиперплоскости.
15. Пусть E1 F — левые векторные пространства, К — основное поле для F и /, g — два полулинейных отображения E в Ft
l) Не путать с дилатациями, определенными в § V. 2!
278
УПРАЖНЕНИЯ
Допустим, что существует функция h: E K1 такая, что для любого X <= E имеем f(x) = h(x)g(x).
a) Покажите, что если х, у — элементы E1 такие, что пара (g(x),g(y)) свободна, то h(x + у) = h(x) = h(y).
b) Выведите отсюда, что если ранг g ^ 2, то существует константа k є /С, такая, что / = kg.
c) Покажите, что этот результат сохраняет силу, если ранг g равен 1 и если /, g линейны.
Приложение. Пусть E имеет размерность ^2 и / — полулинейное отображение E в E1 такое, что х и f(x) зависимы при всех X є Е. Покажите, что f — гомотетия или нулевое отображение.
16. Пусть E — векторное пространство размерности ^2 над телом /Си / — полулинейное отображение E в Е.
a) Предположим, что существует элемент а є= E1 такой, что пара (а, /(а)) свободна; обозначим через H гиперплоскость, для которой a ^ H1 f(a)q=H. Покажите, что тогда существует автоморфизм g пространства E1 такой что g(f(a)) = a -f- f(а) и ё\н = Idtf, и проверьте, что g не перестановочно с /.
