Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Существование этого изоморфизма легко позволяет построить новые формулировки, равносильные аксиоме Евклида (см. упражнения). Оно показывает, кроме того, что с точностью до гомотетии существуют Лишь две «метрические плоскости»: евклидова и гиперболическая— это итог 25 веков исследований, от Евклида до XIX в.
Рис. 25
А
12. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛЬ' ПУАНКАРЕ) 265
Легко видеть, что пара (3P1Sf)1 состоящая из гиперболической плоскости 1? и множества гиперболических прямых S1 удовлетворяет аксиомам инцидентности I из § 2. С другой стороны, каждая гиперболическая прямая S допускает очевидным образом два естественных взаимно противоположных отношения порядка (см. рис. 26) и разбивает 2P\S на две области, которые мы можем назвать «полуплоскостями». Если S имеет уравнение х = хо, то полуплоскости определяются неравенствами х > Xo и х < х0\ если же S определяется уравнением (х — X0)2 + у2 = г2, то полуплоскости соответственно задаются неравенствами (х — X0)2 + у2 > г2 и (х — X0)2+ у2 < г2. Кроме того, две точки A1 В принадлежат одной и той же полуплоскости, ограниченной S)1 тогда и только тогда, когда соединяющий их отрезок гиперболической прямой не пересекает S. Отсюда нетрудно вывести, что <? удовлетворяет аксиоме Паша Пь. Наконец, очевидно, что не удовлетворяет аксиоме Евклида о па-
в
Рис. 26
Рис. 27
J2. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ)
Назовем гиперболической плоскостью множество д> = {(X1 R2|y > 0}, именуемое также полуплоскостью Пуанкаре; назовем гиперболической прямой любое подмножество в SP1 определяемое уравнением
ВИДа X = X0 (Xq ПОСТОЯННО) ИЛИ вида (Х — JCo)2+«/2 =
I= г2 (Xo1 г постоянны). Гиперболические прямые — это пересечения с <р евклидовых прямых из R2, ортогональных оси х'х, и евклидовых окружностей с центрами на х'х (предполагается, что плоскость R2 снабжена канонической евклидовой структурой).
266
гл. vt. метрическая геометрия
раллельных: на рис. 27 изображены две гиперболические прямые 3)\ 02, пересекающиеся в точке Л и не пересекающие гиперболической прямой 3).
Расстояние между двумя точками
Мы определим гиперболическое расстояние между двумя точками Л и В плоскости Ф криволинейным интегралом
в
d(A, В) = \—, где ds = л/dx2 + dy2, (1)
J У
In
Ув
взятым по дуге ABy образованной сегментом гиперболической прямой, соединяющей точки Лий.
Это расстояние очевидным образом удовлетворяет аксиомам Ша, Шь, IHc из § 1. Ясно, что d(At В) удовлетворяет неравенству
в
d(A9 я)> ( —
І у
причем равенство достигается лишь тогда, когда Л и В имеют одинаковые абсциссы. Отсюда видно, что d(AyB) стремится к +оо, когда ув стремится к О или +оо, и поскольку d(AyB) — непрерывная функция By то отображение Mt-^d(A9 M) определяет биекцию каждой из гиперболических полупрямых с началом Л на полупрямую R+. Поэтому, гиперболическое расстояние удовлетворяет и аксиоме IHd из § 1.
Формула гиперболического расстояния
а) Если Ay В имеют одну и ту же абсциссу Xq9 то гиперболическая прямая, которая их соединяет, есть евклидова полупрямая х =» X09 у > 0, и мы имеем 1Y
ув а
d(A9 В)
УА
In
Уа
Ь) Если абсциссы точек A9 В различны, то соеди-
*) Удобно считать, что путь интегрирования ориентирован так, что у в > */л. — Прим, перев.
12. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛІ) ПУАНКАРЕ) 267
няющая их гиперболическая прямая является евкли« довой полуокружностью S) с диаметром [PQ]9 лежащим на х'х. Если мы отождествим R2 с LQ и обозначим через а9 b9 р9 q аффиксы точек A9 B9 P9 Q9 то полуокружность S) допускает параметрическое представление 0 со + reie (О < 0 < тс) с со = (р + q)j2 и г = I (р — ^)/21 (рис. 28), откуда
d(A9 В)-
Arg (Ь—со)
Arg (а-со)
¦lfm ^rI
I L P-z h=a I
Q -iArg (b-a>) Arg (а—се)
d(4,?) = |ln(-^:^)| = |ln[a, b, p,q)\, (2)
где '[а, b9 p9 q] — двойное отношение а, bt pt q (см. § IV. 8), которое действительно1) ввиду конциклично-сти точек A9 B9 P9 Q (упр. IV. 29).
Рис. 28
Можно заметить, что формула (2) остается верной и в случае а), если положить р = X0 и q = оо. Легко также доказать, что формула (2) равносильна формуле
d(A9 ?) = 2Arth[a, a, b, b]l/2 = 2Arth||^~"
(20
l) Легко проверить, что оно положительно.«Прим, перев*
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
где а, Ъ комплексно сопряжены с а, b и Arth — функ-
Автоморфизмы и симметрии SP
Легко видеть, что если отождествить 9і с множеством {г є CJ Im z > 0}, то отображения вида
zн-> аг\_ \ , (a, 6,c,d)GR4 и ad —be > 0
являются биекциями 9і на 9і, преобразующими каждую гиперболическую прямую в гиперболическую прямую (так как это преобразования С, которые переводят окружность или прямую снова в окружность или прямую и сохраняют ось х'х, а, значит, множество прямых и окружностей, ортогональных х'х). Кроме того, эти преобразования сохраняют двойные отношения или переводят их в комплексно сопряженные. По формулам (2) и (2') они сохраняют гиперболическое расстояние и являются автоморфизмами 9і в смысле определения 2.1. В частности, евклидовы симметрии, ось которых ортогональна х'х (преобразования вида гь—>2х0 — Z1 где xoeR) и инверсии с положительной степенью, полюс которых принадлежит х'х (вида