Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лелон-Ферран Ж. -> "Основания геометрии" -> 79

Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.

Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии — М.: Мир, 1989. — 312 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osngeomlf1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 97 >> Следующая


Существование этого изоморфизма легко позволяет построить новые формулировки, равносильные аксиоме Евклида (см. упражнения). Оно показывает, кроме того, что с точностью до гомотетии существуют Лишь две «метрические плоскости»: евклидова и гиперболическая— это итог 25 веков исследований, от Евклида до XIX в.

Рис. 25

А

12. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛЬ' ПУАНКАРЕ) 265

Легко видеть, что пара (3P1Sf)1 состоящая из гиперболической плоскости 1? и множества гиперболических прямых S1 удовлетворяет аксиомам инцидентности I из § 2. С другой стороны, каждая гиперболическая прямая S допускает очевидным образом два естественных взаимно противоположных отношения порядка (см. рис. 26) и разбивает 2P\S на две области, которые мы можем назвать «полуплоскостями». Если S имеет уравнение х = хо, то полуплоскости определяются неравенствами х > Xo и х < х0\ если же S определяется уравнением (х — X0)2 + у2 = г2, то полуплоскости соответственно задаются неравенствами (х — X0)2 + у2 > г2 и (х — X0)2+ у2 < г2. Кроме того, две точки A1 В принадлежат одной и той же полуплоскости, ограниченной S)1 тогда и только тогда, когда соединяющий их отрезок гиперболической прямой не пересекает S. Отсюда нетрудно вывести, что <? удовлетворяет аксиоме Паша Пь. Наконец, очевидно, что не удовлетворяет аксиоме Евклида о па-

в

Рис. 26

Рис. 27

J2. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ)

Назовем гиперболической плоскостью множество д> = {(X1 R2|y > 0}, именуемое также полуплоскостью Пуанкаре; назовем гиперболической прямой любое подмножество в SP1 определяемое уравнением

ВИДа X = X0 (Xq ПОСТОЯННО) ИЛИ вида (Х — JCo)2+«/2 =

I= г2 (Xo1 г постоянны). Гиперболические прямые — это пересечения с <р евклидовых прямых из R2, ортогональных оси х'х, и евклидовых окружностей с центрами на х'х (предполагается, что плоскость R2 снабжена канонической евклидовой структурой).

266

гл. vt. метрическая геометрия

раллельных: на рис. 27 изображены две гиперболические прямые 3)\ 02, пересекающиеся в точке Л и не пересекающие гиперболической прямой 3).

Расстояние между двумя точками

Мы определим гиперболическое расстояние между двумя точками Л и В плоскости Ф криволинейным интегралом

в

d(A, В) = \—, где ds = л/dx2 + dy2, (1)

J У

In

Ув

взятым по дуге ABy образованной сегментом гиперболической прямой, соединяющей точки Лий.

Это расстояние очевидным образом удовлетворяет аксиомам Ша, Шь, IHc из § 1. Ясно, что d(At В) удовлетворяет неравенству

в

d(A9 я)> ( —

І у

причем равенство достигается лишь тогда, когда Л и В имеют одинаковые абсциссы. Отсюда видно, что d(AyB) стремится к +оо, когда ув стремится к О или +оо, и поскольку d(AyB) — непрерывная функция By то отображение Mt-^d(A9 M) определяет биекцию каждой из гиперболических полупрямых с началом Л на полупрямую R+. Поэтому, гиперболическое расстояние удовлетворяет и аксиоме IHd из § 1.

Формула гиперболического расстояния

а) Если Ay В имеют одну и ту же абсциссу Xq9 то гиперболическая прямая, которая их соединяет, есть евклидова полупрямая х =» X09 у > 0, и мы имеем 1Y

ув а

d(A9 В)

УА

In

Уа

Ь) Если абсциссы точек A9 В различны, то соеди-

*) Удобно считать, что путь интегрирования ориентирован так, что у в > */л. — Прим, перев.

12. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛІ) ПУАНКАРЕ) 267

няющая их гиперболическая прямая является евкли« довой полуокружностью S) с диаметром [PQ]9 лежащим на х'х. Если мы отождествим R2 с LQ и обозначим через а9 b9 р9 q аффиксы точек A9 B9 P9 Q9 то полуокружность S) допускает параметрическое представление 0 со + reie (О < 0 < тс) с со = (р + q)j2 и г = I (р — ^)/21 (рис. 28), откуда

d(A9 В)-

Arg (Ь—со)

Arg (а-со)

¦lfm ^rI

I L P-z h=a I

Q -iArg (b-a>) Arg (а—се)

d(4,?) = |ln(-^:^)| = |ln[a, b, p,q)\, (2)

где '[а, b9 p9 q] — двойное отношение а, bt pt q (см. § IV. 8), которое действительно1) ввиду конциклично-сти точек A9 B9 P9 Q (упр. IV. 29).

Рис. 28

Можно заметить, что формула (2) остается верной и в случае а), если положить р = X0 и q = оо. Легко также доказать, что формула (2) равносильна формуле

d(A9 ?) = 2Arth[a, a, b, b]l/2 = 2Arth||^~"

(20

l) Легко проверить, что оно положительно.«Прим, перев*

ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

где а, Ъ комплексно сопряжены с а, b и Arth — функ-

Автоморфизмы и симметрии SP

Легко видеть, что если отождествить 9і с множеством {г є CJ Im z > 0}, то отображения вида

zн-> аг\_ \ , (a, 6,c,d)GR4 и ad —be > 0

являются биекциями 9і на 9і, преобразующими каждую гиперболическую прямую в гиперболическую прямую (так как это преобразования С, которые переводят окружность или прямую снова в окружность или прямую и сохраняют ось х'х, а, значит, множество прямых и окружностей, ортогональных х'х). Кроме того, эти преобразования сохраняют двойные отношения или переводят их в комплексно сопряженные. По формулам (2) и (2') они сохраняют гиперболическое расстояние и являются автоморфизмами 9і в смысле определения 2.1. В частности, евклидовы симметрии, ось которых ортогональна х'х (преобразования вида гь—>2х0 — Z1 где xoeR) и инверсии с положительной степенью, полюс которых принадлежит х'х (вида
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed