Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
к
z ь-> X0 + 2 x0 с * ^ индуцируют инволютив-ные автоморфизмы которые мы назовем гиперболическими симметриями; теперь нам остается лишь проверить аксиомы симметрии V3 и Vb из § 2.
Предложение 12.1. Для каждой гиперболической прямой 3) существует гиперболическая симметрия, s^, для которой эта прямая 3) есть множество неподвижных точек и которая является единственным нетождественным автоморфизмом 9і, оставляющим неподвижными все точки прямой 3).
Доказательство, а) Если 3) лежит на евклидовой прямой, ортогональной х'х, то подходит евклидова симметрия относительно этой прямой. Если ЗЬ лежит
или
cz + d Z н-> . , ctz + о
(а, Ьу с, rf)ER4 и ad — be < 0
12. гиперболическая плоскость (модель" пуанкаре) 269
,на евклидовой окружности радиуса г с центром в /точке / оси х'х, то искомую симметрию даст преобразование инверсии с полюсом / и степенью г2.
Ь) Пусть f—автоморфизм ^9, оставляющий на месте каждую точку гиперболической прямой SD. Если f Ф IcU, то применимое здесь предложение 3.5 показывает, что / не имеет других неподвижных то-,чек. С другой стороны, из предыдущего мы видим, что существует автоморфизм /і, такой, что h(9O) располагается на евклидовой прямой А, ортогональной к х'х\ в этом случае g ¦= h о f о h~l есть автоморфизм с множеством неподвижных точек h(2D). Если z обозначает аффикс точки M в a z'—аффикс точки g (M), то по формуле (2')
i г' — a i_i z — а i
J z' — a I I z — a I
для всех а є 1C, для которых точка с аффиксом а принадлежит h(9O). Значит, M' расположена симметрично с M относительно евклидовой прямой А, откуда вытекает единственность g, а значит, и f. D
Предложение 12.2. Существует по меньшей мере одна гиперболическая симметрия, меняющая местами две гиперболические полупрямые с общим началом.
Доказательство. Действуя, как и ранее, мы можем свести дело к случаю, когда одна из гиперболических полупрямых расположена на евклидовой прямой А, ортогональной в Я к х'х; при этом другая гиперболическая полупрямая будет представлена дугой AP окружности Г с диаметром [PQ] на оси х'х, так как Г пересекает А, то H лежит между PnQ (рис. 29).
Если первая полупрямая представлена отрезком [АН] прямой А, то инверсия с полюсом Q и положительной степенью QP-QH дает искомую симметрию; если же первая полупрямая представлена евклидовой полупрямой Ay1 то искомую симметрию даст инверсия с полюсом P и положительной степенью PQ'l -PH. D
Итак, мы сумели построить «метрическую плоскость» !?, удовлетворяющую пяти группам аксиом
270
ГЛ. Vf. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
из § 2, но не удовлетворяющую аксиоме Евклида о параллельных; этим доказана независимость последней аксиомы и невозможность доказать ее исходя из аксиом метрической плоскости.
Замечание. Можно доказать, что угол между двумя гиперболическими прямыми равен углу между.
Рис. 29 р н Q
представляющими их дугами окружностей евклидовой плоскости. Модель Пуанкаре оказывается, таким образом, конформной, т. е. сохраняющей углы, моделью гиперболической плоскости. Существуют и другие модели этой геометрии, и среди них модель Бельтрами, в которой гиперболические прямые представлены отрезками евклидовых прямых (см. упр. VI. 17). Дальнейшие подробности по гиперболической геометрии, а также изложение сферической или эллиптической геометрии, см. в книге [BEJ, т. 5.
упражнения
ГЛАВА I
1. Исходя из определения сложения действительных чисел, данного в § 1.1, усильте предложение 4.2, установив неравенство
Dn (х + уХ Dn (X) + Dn (у) + ю"".
2. (Изучение последовательности частных с точностью до 10~п.) Пусть а, Ь — два действительных числа, причем Ъ > 0. Покажите (не опираясь на существование частного), что для любого
MeN существует «/такое рп є Z, что Ю~прпЬ < а < 10~
Покажите, что для (т, п) є N2 имеет место неравенство
Выведите отсюда, что последовательность (\0"прп) имеет верхнюю грань q, такую, что qb = а, и что \§~прп есть десятичное приближение порядка п для <7.
3. а) Каковы гомоморфизмы группы (q, +) в себя?
ь) Покажите, что единственный автоморфизм поля q есть тождественное отображение.
4. а) Пусть к > 0 — такое целое число, что <\fk иррационален. Покажите, что действительные числа вида а-\~ b л/k , где (а, Ь) є є q2, образуют подполе К поля R.
ь) Покажите, что отображение /с—> К, a-\-h*Jk \—> а — — 6 является автоморфизмом поля К.
5. Пусть /: r —>¦ r — монотонное отображение, удовлетворяющее условиям
Покажите, что f — аффинное отображение (положив q(x) =» — f(x)—f(0), можно установить, что ф(х/2) = 7гф(*) и ф(* + #) = ф(*) + ф(0)).
6. Подмножество Л cz r называется всюду плотным в r, если в каждом (непустом) открытом интервале ]у, и [с: R содер* жится хотя бы один элемент из A4
(1 + Pn) Ь.
\0-Прп< ю т(\ + рт).
272 УПРАЖНЕНИЯ
1J «Положительными» в этой группе считаются элементы >>1, Следует предположить, что а ф I4 — Прим. перевь
Покажите, что если О — архимедова группа без дыр и К — строго монотонный гомоморфизм G в R, то h(G) всюду плотно в R (воспользуйтесь предложением 6.1).
