Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Ч Напомним, что Ф есть знак прямой суммы. -^- Прим. перев.
56 гл ii. структура векторного пространства над телом
жение f: E-+F9 ограничение которого на каждое из подпространств E1 (i = 1, 2) равно ft.
Доказательство. Пусть /—биекция
EiXE2"**"E9 (х\9 х2)\ >xі -f- х2»
Тогда единственное отображение /, удовлетворяющее выдвинутым требованиям, определяется условием
f *2> = fl(*l) + Ы*2).
Таким образом, линейное отображение EeF однозначно определено своими ограничениями на два дополнительных ВПП Еи E2 пространства Е.
Факторпространство. Каноническое разложение полу* линейного отображения
^ Теорема 4.3. Пусть E — левое векторное пространство над Ky X — его векторное подпространство и EjX — факторгруппа группы {E9+) по подгруппе X. Тогда Е/Х допускает единственную структуру левого векторного пространства над /С, такую, что каноническая проекция р: E-+Е/Х есть линейное отображение.
Более того, если У дополнительно к X9 то ограничение р на У есть изоморфизм Y на Е/Х.
Доказательство, а) По определению, для любого a ^E класс р(а) есть множество векторов вида a + x9 где x пробегает X9 и, как легко проверить, для X^ К класс P(Xa) зависит только от X и р(а). Таким образом, Е/Х наделяется структурой левого векторного пространства, совместимой с классической групповой структурой, если положить р(а)-\- р(Ь) = = р(а + Ь) и Хр(а) = р(Ха). Это единственная структура, относительно которой проекция р линейна.
Ь) Если E = X © Y9 то каждый класс р(а) имеет с У единственный общий элемент (компоненту а в У); поэтому ограничение р на У биективно. ?
> Теорема 4.4. Каждое полулинейное отображение /: E-+F имеет разложение / = g ° р9 где р: E-+ ^f/Кег/—каноническая проекция, a g: ?/Кег/->
4. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 57
F—полулинейное инъективное отображение, ассоциированное с тем же изоморфизмом 6 тела, что и /.
Доказательство. Если (а9Ь)^Е2у то f(a)=f(b) равносильно Ь — а є Кег f, и потому р(а) = р(Ь). Следовательно, существует инъективное отображение g: Е/КетFy такое, что / = g ° р. Далее, поскольку р линейно и / полулинейно, для любых а, Ь^Е имеем
g(p(a) + p(b)) = g(p(a + b)) = f(a + b)=-f(a) + f(b)=* = g(p(a)) + g(p(b)),
и для каждого элемента X основного тела пространства E
g (Яр (a)) = g(p (Xa)) = f (Xa) = 6 (X) f (а) =-- 6 (X) g (р (а)).
Итак, g полулинейно и ассоциировано с 6. ? Применение базисов
^ Теорема 4.5. Пусть E1 F — два левых векторных пространства над телами К, К' и B = (Ci)1^1- индексированный базис Е. Тогда
a) Для любого семейства (?^e/ элементов F9 индексированного тем же множеством /, существует единственное полулинейное отображение /: E-+F9 ассоциированное с заданным изоморфизмом 6: К
и удовлетворяющее условиям f(ei)=at при всех
ІЄ=/.
b) Для того чтобы / было инъективным (соотв. сюръективным), необходимо и достаточно, чтобы семейство (ai)iGl было свободным (соотв. семейством образующих).
Следовательно, для того чтобы / было биективным, необходимо и достаточно, чтобы образ при отображении / какого-либо базиса E был базисом F9 и тогда то же самое имеет место для всякого базиса.
Доказательство, а) Отображение определяемое равенством / ( Z х&А= Л §(хі)аі Для любого КО-
б8 гл- It. структура векторного пространства над телом
нечного Jczl9 является единственным отображением, удовлетворяющим поставленным требованиям. Отсюда легко получается утверждение Ь).
Пространство линейных или полулинейных отображений
Легко видеть, что композиция линейных (соотв. полулинейных) отображений линейна (соотв. полулинейна).
Сумма двух линейных отображений fr. E-+F (і = = 1, 2), очевидно, линейна. Напротив, сумма двух полулинейных отображений полулинейна только в том случае, когда оба этих отображения ассоциированы с одним и тем же изоморфизмом тел.
Наконец, пусть E9 F — два левых векторных пространства над телами /С, К' и f: E-+F — полулинейное отображение, ассоциированное с изоморфизмом 6: К-+К'. Для любого k є К'* отображение
g = kf: E-+F, x^>kf(x)
полулинейно и ассоциировано с изоморфизмом
<р: К-»К\ Я н->&9 (X) k~l.
Действительно, имеем
g (Xx) = kf (Xx) = № (X) f (х) = /Є (X) k~]g (х).
В частности, мы можем сформулировать
> Предложение 4.6. Если E9 F — два левых векторных пространства над телом К и f — линейное отображение E в F9 то отображение kf (где k<^K*) полулинейно и ассоциировано с внутренним автоморфизмом X j—> kXkT1.
Итак9 kf линейно только в случае, когда k принадлежит центру тела К. Если / = IcU, то мы возвращаемся к случаю векторных гомотетий.
Отсюда вытекает, что если К не коммутативно, то множество линейных отображений E в F не является векторным пространством по отношению к обычным операциям; поэтому представляет интерес следующий частный случай:
5. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 59
> Предложение 4.7. Пусть E — левое векторное пространство над телом К. Тогда линейные отображения EbK (называемые линейными формами) образуют правое векторное пространство над К со следующими законами сложения и умножения на скаляры:
