Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство, а) Отношение, определенное на IR(j), очевидным образом антисимметрично, рефлексивно и транзитивно, и f^g равносильно f — g^0<
Но если h = Q/P — рациональная дробь, не равная тождественно нулю, то множество корней PnQ конечно; следовательно, существует действительное х0, такое, что Р(х) и Q(x) при X^x0 сохраняют постоянные знаки; таким образом, верно одно из двух соотношений h > 0 или h < 0. Этим доказано, что порядок, определенный на 1R(X), линейный.
b) Без труда проверяются аксиомы упорядоченного поля. Для доказательства неархимедовости R(j)) достаточно заметить, что положительные элементы f, g, заданные как f(x) = x и g(x) = x2, удовлетворяют при любом /igN неравенству nf < g.
Замечания. 1) Данное в этой главе построение Rl использует только теорию десятичных дробей (но не вообще теорию дробей): Q возникает просто как «множество отношений целых чисел», откуда уже выводятся все правила действий с дробями. Таким путем мы узакониваем прагматический подход современных программ обучения, где принято не слишком четкое (но достаточное!) понятие действительного числа и где рациональные числа рассматриваются как отношения целых чисел.
2) Введение на 1R порядковой топологии и понятия «сходящейся последовательности» позволяет дать другие аксиоматические характеризации R (см., например, [В02], гл. IV, или [LF-AR], т. 2).
3) Судить о пользе теоремы 6.3 можно по применению ее к доказательству существования функции «логарифм по основанию а» (см. упр. 1.9).
Глава II
СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Современное конструктивное изложение геометрии основывается на понятии векторного пространства; при этом в случае евклидовой геометрии ограничиваются конечномерными векторными пространствами над полем R.
Но, желая иметь более широкую картину и подготовиться к аксиоматическому изложению аффинной геометрии, следует изучить произвольные векторные пространства над телами, необязательно коммутативными. По этой причине мы начнем с напоминания некоторых сведений из алгебры.
1. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ТЕЛА
Напомним, что тело К называется коммутативным или некоммутативным1) в зависимости от того, коммутативна ли в нем операция умножения.
Если (/С, +, X) — некоммутативное тело, то на том же множестве К можно определить другую структуру тела (K1 +, *), сохранив операцию сложения и введя новую операцию умножения х* у по правилу X *у = у Xx. Это новое тело мы обозначаем через К и называем телом, противоположным телу /С.
Определение 1.1. Центром тела К называется множество ZK его элементов, коммутирующих со всеми элементами из K1 т. е. ZK = {х є К І (Vа е Ю ах = ха).
]) Автор в примечании дает соответствующие английские термины field и division ring. В литературе на русском языке приняты термины «поле» и «тело», которых мы и будем придерживаться» — Прим. перев.
42 гл. ii. структура векторного пространства над телом
Легко видеть, что центр К есть коммутативное подтело К (поле), содержащее все элементы вида пЛк, где п є Z. Если К имеет характеристику нуль, то эти элементы при пФО обратимы; элементы вида
р(п-\к)-{, обозначаемые как -~1/с» гДе (Р» п) є Z X
X N*, образуют коммутативное подтело тела /(, содержащееся в его центре и изоморфное полю Q рациональных чисел.
Пример некоммутативного тела: тело кватернионов
Считая известной структуру векторного пространства R4, обозначим через ео= (1, 0, 0, 0), е\ = (0, 1, 0, 0), е2 = (0, 0, 1, 0), еъ = (0, 0, 0, 1) векторы его канонического базиса. Легко видеть, что можно ввести в 1R4 операцию умножения, ассоциативную и дистрибутивную относительно сложения векторов и такую, что
el=l, eQet = ete0 = eit ej = — e0 (/==1,2,3),
^2=-^1 = ?» е2еЪ = — = Є{} (1)
еъех = — е{еъ = е2.
Тогда ео будет нейтральным элементом для этой операции умножения, и можно проверить, что любой ненулевой элемент
з 3
q= Z ЧіЄі = д0е0 + E діві
допускает в качестве обратного элемент
9-!-(Ео<7?) (%?-?^?
Таким образом, множество R4, снабженное этой структурой, является телом, которое называется те^ лом кватернионов и обозначается H (по начальной букве фамилии английского математика Гамильтона, открывшего кватернионы). Таблица умножения (1) показывает, что это тело некоммутативно и что его центр состоит из элементов вида (а:, 0, 0, 0), где я е Rj эти элементы образуют подтело Hi изоморфное !R (см.
¦
Т. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ТЕЛА
43
ниже). Заметим, наконец, что тело H имеет характеристику нуль.
Заменяя R полем комплексных чисел С', получим таким же путем алгебру комплексных кватернионов, не являющуюся телом.
Изоморфизмы, автоморфизмы и антиавтоморфизмы
Напомним (см. § 1.8), что изоморфизмом тела К на тело К' называется биекция А: К-+К', удовлетворяющая условиям
(V(JC, У)^К2) h(x + y) = fi(x) + h(y)9
fi(xy) = h{x)h(y),
из которых можно также получить, что
A(Ok) = (V, A(Ik)=I*' и (V^i(I
A(O-[AWl"1.
Примеры. 1) Если К— тело характеристики нуль, то отображение /: Q->K, гн->г« 1*есть инъективный гомоморфизм и, значит, изоморфизм Q на его образ,
