Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
k
h+\ =*= Я"" ^+1 — Z X~~lXigi — Z Я"" цгаг
г-1
принадлежит векторному пространству, порожденному множеством
G4+1 = U (О* \ {bk+l}) = ЛА+1 U (G \ Вм)9
и так как по предположению индукции Gk есть множество образующих, то и Gk+\ — множество образующих Е. Итак, утверждение верно при любом целом
50 гл. и. структура векторного пространства над телом
> Следствие. Если E допускает свободное р-эле* ментное подмножество A9 то всякое множество обра-4 зующих E содержит не менее р элементов.
Пример. Векторное пространство многочленов над К. Пусть K[X]— множество формальных многочле-нов над произвольным телом /С. На K[X] определяет* ся структура левого векторного пространства над K9 если положить для любых двух многочленов Р=я» = S akx* и Q = S bkXk и любого Я є К
P + Q = ? (? + W Х\ XP=Z ^akXk. Семейство (Хп)пє.^ является тогда базисом простран* ства K[X].
3. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
^ Теорема 3.1 (о размерности). Пусть E — левое (или правое) векторное пространство над телом К, долу-* екающее конечный базис В мощности п. Тогда
Всякое свободное подмножество в E имеет не более п элементов.
Всякое подмножество образующих E содержит но менее п элементов.
Следовательно, всякий базис E состоит из п эле* ментов.
Доказательство, а) Если L — свободное подмножество E9 то, как показывает следствие из теоремы 2.1, всякая конечная часть L состоит не более чем из п элементов (поскольку базис В является подмножеством образующих мощности п)\ следовательно, L —-конечное множество мощности п.
Ь) Если G — множество образующих E1 мы можем применить то же самое следствие при A=B и убедиться, что card(G) ^ п. Отсюда вытекает и последнее утверждение.
Тем самым мы обосновали корректность следующего определения:
> Определение 3.1. Векторное пространство называется конечномерным (соотв, размерности п\9 если
3. конечномерные векторные пространства 51
оно допускает конечный базис (соотв. базис мощности п).
Последующие предложения являются приложениями теоремы о замене 2.1.
Предложения 3.2. Для того чтобы векторное пространство E было конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы оно допускало конечное подмножество образующих G; это подмножество образующих содержит базис.
Доказательство. Необходимость условия очевидна. Обратно, если условие выполнено, то мощности подмножеств образующих, содержащихся в G, составляют непустое подмножество PcN; обозначим через р наименьший элемент Р. Тогда существует хотя бы одно подмножество G0 образующих ?, содержащееся в G и имеющее мощность р. Если бы Go не было свободным, то какой-нибудь элемент а из G0 был бы линейной комбинацией остальных, a G0\{tf} было бы множеством образующих E мощности р—1, что противоречит определению р. Значит, G0 является конечным базисом Е, содержащимся в G. ?
> Следствие, Если E — векторное пространство размерности п, то любое подмножество образующих, содержащее п элементов, является базисом.
Предложение 3.3. Для того чтобы векторное пространство E имело конечную размерность ^ п, необходимо и достаточно, чтобы в нем не было свободного подмножества мощности > п.
Доказательство. Необходимость этого условия вытекает из теоремы 3.1. Обратно, если оно выполнено, мощности свободных конечных подмножеств E образуют непустое подмножество PbN, имеющее мажоранту п. Обозначим через р наибольший элемент в Pi существует свободное подмножество LdE мощности р. Если бы L не было множеством образующих, в E существовал бы элемент а, не принадлежащий Vect(L), и L[}{a} было бы свободным подмножеством E мощности р+ 1, что противоречит определению р. Таким образом, L есть базис E и AIm(El = р. ?
52 гл ii. структура векторного пространства над телом
^ Следствие. Если E—векторное пространство конечной размерности п, то все его векторные подпространства имеют конечную размерность ^ п.
В самом деле, каждое свободное подмножество Ь ВПП X с: E есть также и свободное подмножество в Е. Поэтому card (L) <пи dim (X) ^ п.
Теорема о дополнении до базиса
> Теорема 3.4. Если E — конечномерное векторное пространство и L — свободное подмножество в E1 то существует базис ?, содержащий L.
Доказательство. Применим теорему о замене (теорему 2,1) с Л = 1 и некоторым базисом E в качестве G. Если L — {аи ар}, то можно упорядочить G в конечную последовательность (bu b2> ...,On) с п^р так, чтобы В = {аи ..., ар, Ьр+и ..., Ьп} было множеством образующих Е. Так как card(?) = = /2 = dim(?), то В является базисом E (следствие из предложения 3.2). ?
^ Следствие І.Если E — векторное пространство конечной размерности п, то каждое его свободное подмножество, состоящее из п элементов, является базисом.
> Следствие 2. Если E — векторное пространство конечной размерности и X — его ВПП той же размерности, то X = Е.
Действительно, каждый базис В подпространства X является свободным подмножеством, число элементов которого равно размерности ?, и потому E = = Vect(?)=X
^ Теорема 3.5. Если E — конечномерное векторное пространство, то каждое его ВПП X допускает по меньшей мере одно дополнительное подпростран~ ство *).
