Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
1) Дополнительными подпространствами в E называются такие подпространства Х> У, что любой элемент z е E единственным образом представляется в виде z = х + у, где х е X9 у є У. — Прим. перев,
4 ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 53
Доказательство. Результат тривиален в случаях 1X = [Q] и X = E1 которые мы исключим из рассмотрения. Пусть А — базис X и В — базис Е, содержащий А. Тогда каждый элемент из E единственным образом представляется как сумма линейной комбинации элементов А и линейной комбинации элементов В\А\ иными словами, X = Vect(/4) и У = Vect (В\А )t суть два дополнительных друг к другу ВПП (см. упр. II. 3). ?
Заметим, что если X1 У —два дополнительных ВПП в E1 то dim(E) = dim(X) + аіт(У) (подробнее см, упр. II. 5 и II. 6).
Типовой пример: стандартные пространства Кп
Если К — произвольное тело, то декартово произведение Кп допускает две канонические структуры векторного пространства над К: левого и правого, определенных соответственно законами умножения Х(хи Хп) = (Ххи Xxn) и (хи ..., Xn)X =
«= (x\Xf ..., хпХ).
В случае коммутативного К эти две структуры совпадают; их размерности обе равны п.
Можно заметить, что если К—конечное тело (и, следовательно, поле) порядка U1 то мощность множества Кп равна kn (так как каждая из координат х\9 #2, Xn пробегает k различных значений).
Далее мы увидим, что всякое левое (соотв. правое) векторное пространство размерности п над К изоморфно Кп> рассматриваемому как левое (соотв. правое) векторное пространство.
Замечание. Векторные пространства, не имеющие конечной размерности, называются бесконечномерными; например, K[X] бесконечномерно; этому выражению мы не придаем более точного смысла (см. § 9).
4. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Понятие линейного отображения немедленно распространяется на случай векторных пространств над произвольным телом; в частности, сохраняется без изменений теория векторных проектирований и сим-
54 гл. it. структура векторного пространства над телом
метрий (см. упр. II. 3). Но здесь нам потребуется более общее понятие.
> Определение 4.1. Пусть Ex и E2 — левые векторные пространства над телами соответственно Ki и K2. Отображение /: Ex-^E2 называется полулинейным, если оно удовлетворяет условию
(V(x, у) €=?, XE1) f(x + y) = f(x)+f(y)
и существует такой изоморфизм 9 тела К\ на тело K27 что
(V (X9 х) є Ki X E1) f (Xx) = Є (X) f (х).
Термин линейное отображение приберегается для случая, когда Kx = K2 и 9 — тождественное отображение. В частности, изоморфизм есть биективное линейное отображение; эндоморфизм (соотв. автомор* физм) векторного пространства E есть линейное отображение E в себя (соотв. изоморфизм E на себя).
Автоморфизмы векторного пространства E образуют группу, называемую линейной группой E и обозначаемую GL(?).
Более общо, полулинейные биекции векторного пространства E на себя образуют группу, обозначаемую GSL(?), для которой GL(?) является инвариантной подгруппой.
Примеры. 1) Если E — векторное пространство над полем характеристики ф29 то можно показать (см. упр. II. 3), что единственные инволютивные автоморфизмы E суть векторные симметрии1). Но могут?) существовать инволютивные полулинейные отображен ния E на E9 не являющиеся линейными. Например,; если ?=_СЛ то полулинейное отображение f: JDZ-C/, (Zi Zn)b->(?i, гп), ассоциированное с автоморфизмом гь->2 поля С:, инволютивно.
2) Если E — левое векторное пространство над K9 то векторная гомотетия hk\ x\—>kx(k<^K*)
есть полулинейное отображение, ассоциированное с
') По поводу случая характеристики 2 см. упр, II. 4,
4. линейные и полулинейные отображения 55
внутренним автоморфизмом
ЄА: K->Kt X^kXk"1.
> Таким образом, hk линейно, только если k принадлежит центру К\ тогда гомотетия hk становится автоморфизмом Е.
Легко показать, что векторные гомотетии образуют инвариантную подгруппу группы GSL(?).
С другой стороны, центр группы QL(E) образован векторными гомотетиями hk, коэффициент k которых принадлежит центру К (см. упр. II. 15 и II. 16).
Свойства. Среди классических свойств линейных отображений есть такие, которые легко распространяются на линейные или даже всего лишь полулинейные отображения над произвольным телом, но есть и такие, которые теряют силу в случае некоммутативного тела.
Мы начнем с изучения общих свойств, не зависящих от размерности; случай конечномерных пространств рассматривается в § 5.
> Предложение 4.1. Пусть f: E-+F—полулинейное отображение, X — ВПП E и У — ВПП F. Тогда f(X) является ВПП F и /-1 (Y) — ВПП Е.
В частности, lmf=f(E) есть ВПП F1 называемое образом fy a Ker / = /-1 (0)— ВПП Е, называемое ядром /; ядро сводится к {0} тогда и только тогда, когда / инъективно.
Доказательство очевидно.
Заметим, что, напротив, задача о собственных значениях и собственных векторах в случае некоммутативного тела выглядит совершенно по-другому.
> Предложение 4.2. Пусть E1 F — два векторных пространства над одним и тем же телом /С, а Еи E2 — два ВПП пространства E1 такие, что E = Ex® E21). !Если f\\ Ex —>-F и f2: E2-^F— два линейных отображения, то существует единственное линейное отобра-
