Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае обозначим через р, q проектирования ? на У, Z параллельно X.
Тогда ограничение q на Y будет линейной биекцией У на Z, обращение которой будет ограничением р на Z, и, следовательно, изоморфизмом (полученное соответствие между У и Z определяется условием у—-
b) Если в E имеется ВПП X9 такое, что фактор-пространство Е/Х имеет конечную размерность k, то у X существует дополнительное подпространство размерности k. Это предложение, вытекающее в конечномерном случае из теорем 3.5 и 4.3, остается в силе и для произвольного Е.
Действительно, пусть (ei) —базис Е/Х и для любого і є {1, 2, ..., k) элемент ui є E таков, что р(аї) = = et (где р — каноническая проекция Е-+Е/Х). Для каждого х<=іЕ координаты (xi) вектора р(х\ в базисе (et)—это единственные скаляры, для которых
76 ГЛ. И. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
x — 2 X1cli є X I так как зіо соотношение равносильно
?=1 \
k ч
P W = 2 ^i^t !.Такимобразом, У = Vect(ab .. .,а*)—* *=i /
дополнительное подпространство к X] более того, семейство (аи . - •, CLk) свободное и, значит, dim Y = k.
с) Пусть, наконец, E — действительное векторное пространство, снабженное скалярным произведением (симметричной положительно определенной билинейной формой). Тогда отображения E в E1 сохраняющие скалярное произведение любых элементов, линейныу это свойство, которое в школьных учебниках часто доказывается с применением базисов, т. е. в предположении конечномерности E1 справедливо и в бесконечномерном случае и доказывается очень просто следующим способом.
Пусть р: EYE-+R — рассматриваемое скалярное произведение; по предположению о положительной определенности, р(ху х)=0 влечет х = 0. С другой стороны, пусть /: E-+E — отображение, удовлетворяющее условию
(V(X1 у) є ?ХЯ) p(f(x).f(y))=*P(x,y). (D
Обозначим через (X1 у, X1 \х) произвольный элемент из ? X ? X R X1R и положим
. w = f(Xx + iiy)-Xf(x)-ixf(y).
Применяя (1), найдем, что для любого 2gE P (W1 f (Z)) = р (f (Xx + VLy)9 f (Z)) - Xp (f (X)9 f (Z)) -
/(*)) =
= р(Хх + \ху9 z) — Xp (х9 z) — \хр (у9 z) = 0.
В частности, p(w9 f (х)) = p(w9 f(y))=0 .ц p(wt f (Xx + [iy)) = 0, откуда в силу линейности р по второму аргументу получаем р(w1w)=O и, значит, w = 0.
Отсюда вытекает линейность f. D
3° Наконец, имеются такие предложения, которые можно распространить на бесконечномерный случай,
10. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АКСИОМЫ ЦОРНА 77
только прибегая к использованию добавочной аксио-мьі (аксиомы Цорна или какой-нибудь ей эквивалентной). Соответствующие примеры мы приведем в § 10,
10. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ АКСИОМЫ ЦОРНА
Начнем с формулировки этой аксиомы.
^ Аксиома Цорна. Пусть X — индуктивное упорядо* ченное множество, т. е. такое, что любое его линейно упорядоченное подмножество (цепь) имеет верхнюю границу.
Тогда в X найдется хотя бы один максимальный элемент, т. е. такой элемент х, что не существует элемента //ЕІ, для которого у > X.
Напомним, что эта аксиома эквивалентна каждой из следующих:
Аксиома Цермело. Каждое множество может быть вполне упорядочено, т. е. снабжено таким отношением порядка, что любое непустое подмножество имеет наименьший элемент.
Аксиома выбора. Пусть [X1)^1 есть семейство непустых множеств. Тогда существует отображение f: /-> M Хь такое, что для каждого /є/ имеем
і є/
/We X1.
Покажем теперь, как аксиома Цорна позволяет до* казывать теоремы существования для бесконечномер* ных пространств.
Существование базисов
^ Теорема 10.1. Любое векторное пространство В имеет базис. Каждое свободное подмножество LbB может быть дополнено до базиса.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из второго, если принять за L пустое множество.
Обозначим через L свободное подмножество в Б (может быть, и пустое); пусть S — множество всех свободных подмножеств ?, содержащих L, упорядоченное по включению. Тогда 3? непусто {так как Ьщ
78 гл. ii. структура векторного пространства над телом
є 3?) и индуктивно, так как любая цепь в S имеет своей верхней гранью объединение входящих в нее подмножеств. Поэтому в 27 существует максимальный элемент B1 и так как Bg«?, то В — свободное подмножество в Е. С другой стороны, если бы В не было множеством образующих для E1 то существовал бы элемент а є Е\ B1 такой, что множество В U {а} было бы свободным и принадлежало і?, что противоречит максимальности В и 3?. Итак, В — базис E9 содержащий L. ?
Существование дополнительных подпространств
> Теорема 10.2. Если ? — векторное пространство, то каждое его ВПП X допускает дополнительное подпространство.
Доказательство. По предыдущей теореме X имеет базис Л; поскольку А — свободное подмножество в Е% его можно дополнить до базиса В пространства Е. Тогда векторное пространство y = Vect(?\i4) будет дополнительным для X. ?
> Следствие. В каждом векторном пространстве размерности ^ 1 существуют гиперплоскости (дополнения к векторным прямым).
Продолжение линейных отображений
> Теорема 10.3. Пусть E1 F — два левых векторных пространства над одним и тем же телом /С, X — ВПП Ь E и /: X-+F — линейное отображение. Тогда f можно продолжить до линейного отображения f: E-+F*
