Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лелон-Ферран Ж. -> "Основания геометрии" -> 19

Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.

Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии — М.: Мир, 1989. — 312 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osngeomlf1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 97 >> Следующая


^ Теорема 6.2. а) Ядро не равной тождественно нулю линейной формы является векторной гиперплоскостью.

6- ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ, ГИПЕРПЛОСКОСТИ, ДУАЛЬНОСТЬ' 63

Ь) Обратно, если Я —векторная гиперплоскость в E9 то на E существует линейная форма /, такая, что H=KeTf1 и если g — линейная форма, равная нулю на Я, то существует такой скаляр kt что g = fk. Следовательно, если Я = KeTf = Кет g, то существует k є /С*, такой, что g = fk.

Доказательство, а) Пусть f є E*, f Ф О и Я = Ker f. По предположению, существует такой вектор а є E9 что /(а) =7^=0; положив 6 = [/(а)]"1 а, найдем, что f(b)=l. Для каждого х^Е вектор y = x~~f(x)b удовлетворяет равенству /(#) = 0, т. е. у є Я. Таким образом, а: є Я + Kb9 откуда следует, что E = H + Kb, U9 поскольку b ф. Я, Я —- гиперплоскость.

Ь) Пусть Я — гиперплоскость и ає?\Я, Для каждого а: є E существует единственный скаляр f(x), такой, что лг-—/ (х)а е Я. Определенное таким путем отображение /: Е->К очевидным образом линейно и л: є Я равносильно f(x) = 0. Итак, H = Ker/.

Наконец, если g — линейная форма, равная нулю на H = Ker/, то можно выбрать ає? так, что f(a)=l. Тогда форма /г: лен-+g(х) — f(x)g(a) обращается в нуль и на Я и в а и, следовательно, на Я + Ka = Е; иными словами, h есть нулевая форма и g Z= fk, где k = g(a) (напомним, что форма fk: X і—> / (х) & линейна). ?

Следствие. Если Я, H' — две гиперплоскости в E и Я с= Я7, то Я = Я7.

Доказательство. Положим Я = Ker/, Я'=Кег?; форма g обращается в нуль на Я, и потому g = fk с^Ои, значит, Я = Я'.

Замечание. Более общо: ядро полулинейной формы, не всюду равной нулю на E9 является гиперплоскостью. Действительно, полулинейные формы приводятся к линейным с помощью композиции с автоморфизмом тела К (см. упр. II. 13).

Дуальность

Мы рассмотрим отношение, называемое дуальностью, между пространством E и сопряженным Е*.

64 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ

Для этого введем отображение

Ь: ЕХЕ*->К, (х9 /)»->/(*). Это отображение билинейно1), так как (V (Я, їх) є К2, V (х9 f) є= ? X ?*) 6 = Я/ (X)

(D

Форма Ь позволяет ввести между элементами пространства E и сопряженного пространства Е* отношение ортогональности: элемент f е Е* назовем ортогональным к jcg?, если f(x) = 0. Множество всех элементов из Е*9 ортогональных к хеО, называется аннулятором х. В более общей форме введем

> Определение 6.2. Аннулятором2) подмножества А сі E называется подмножество А°аЕ*9 определяемое условием

Л° = {/ €= Е* I (Vx єе Л) / (jc) = 0}.

'Иными словами, это множество линейных форм на Еу ядро которых содержит Л. Аннулятор А можно также называть (полным) ортогональным к А пространством, так как верно

Предложение 6.3. Аннулятор A0 подмножества А с: E есть векторное подпространство в Е* и (VectA)0 = Л°.

С другой стороны, если A9 В — два подмножества в ?, то

(A U B)0 = Л° Л S0, (Л Л 5)° => Л° + ?° (2)

и включение Л с: В влечет Л° ZD S0. Проверка не составляет труда.

1} Более общо, если E — левое и Е* — правое векторные про* странства над К, отображение b: E X Е* К со свойством (1) называется спариванием; по поводу этого понятия см. [AR], гл. I.

2) Термином «аннулятор» мы заменили трудно переводимый термин «l'orthogonal»; для компенсации добавлено прямое определение ортогональности элементов E и Е*. Вообще, два подмножества А с E и А' с Е* можно называть вполне ортогональными, если попарно ортогональны любые их элементы. —» Прим. перев.

б. ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ, ГИПЕРПЛОСКОСТИ. ДУАЛЬНОСТЬ §5

Пример. Пусть H — гиперплоскость в Е\ ее анну-лятор есть векторная прямая в E*, образованная линейными формами, обращающимися в нуль на H l(cm. теорему 6.2).

Второе сопряженное пространство. По-прежнему исходим из левого векторного пространства E над телом К. Сопряженное с ним пространство ?* есть правое векторное пространство над К; пространство ?**, сопряженное с ?*, называется вторым сопряженным с E и является левым векторным пространством над К. Отображение /: E ->?**, хъ—>х, определяемое условием x(f) = f(x)9 очевидным образом, линейно; в

самом деле, (Xx) (f) = / (Xx) = Xf (х) = Xx (f).

Далее (§ 10) мы установим, применяя, правда, лемму Цорна, что это отображение / инъективно\ действительно, утверждать, что / инъективно, означает утверждать, что нулевой вектор E — это единственный вектор, удовлетворяющий условию f(x) = 0 для всех / е Е*9 что для бесконечномерного E неочевидно.

Случай конечной размерности рассматривается в § 7.

Линейное отображение / называется каноническим вложением E во второе сопряженное пространство ?**.

Транспонированное линейное отображение

Определение 6.3. Пусть E9 F — два левых векторных пространства над одним и тем же телом К и ф: E-+ F — линейное отображение. Транспонированным к ф называется отображение ґф: F*-+E*9 определенное условием

(VfS=F9VxE=E) 'ф(/) = /оФ.

Предложение 6.4. Если ф — линейное отображение, то транспонированное отображение *ф также линейно и

Кег('ф)==(1тФ)*. (3)

3 Ж. Лелон-Феррак

66 ГЛ. II. структура векторного пространства над телом
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed