Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому мы можем, не нарушая общности, огра* ничиться рассмотрением левых векторных пространств,
2) Если К коммутативно, понятия левого и правого векторных пространств совпадают. В этом и только в этом случае произведение вектора х на скаляр К можно записывать и как Xx9 и как хХ.
Обобщение привычных понятий на случай некоммутативного тела
Пусть E — левое векторное пространство над а) Векторным подпространством (сокращенно ВПП) пространства E называется непустое подмножество X с: Et устойчивое по отношению к обоим зако-
2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ПРОИЗВОД^ЦЬЩ,ТЕЛСМ »47
1J Важно иметь в виду, что в алгебраической теории векторных пространств рассматриваются только конечные липсЛ-ные комбинации.
нам композиции, т. е. такое, что 0 о X и
(V (Я, [X) є К\ V (*, У) є X2) Хх + рує= X.
Каждое ВПП пространства E допускает очевидную структуру левого векторного пространства над /С
b) Пусть ST = [Xi)1 є 7 — произвольное семейство (необязательно конечное) элементов Е.
Линейные комбинации элементов ff"— это элементы E вида E X1X1, где / — некоторое конечное1) не-
пустое подмножество /, a Xj (/ є /)—произвольные скаляры.
Зга линейные комбинации образуют векторное подпространство в ?; говорят, что оно порождено семейством ST, и обозначают его Vect(?F). Семейство ff~ называется семейством образующих, если Vect(^") = с= ?, т. е. если любой элемент E является линейной комбинацией элементов ff".
c) Семейство (Xt)1^1 элементов E называется зависимым, если существуют конечное подмножество JaI и скаляры (Xj)1^j, не все равные нулю, такие, что
E X1X1 = O.
/є=/
В противном случае семейство (Хі)іє1 называется свободным.
d) Базисом (индексированным) пространства E называется свободное семейство ff" образующих; это означает, что каждый элемент из E может быть единственным образом представлен как линейная комбинация элементов ST.
e) Понятие свободного подмножества (соотв. подмножества образующих) в E сводится к понятию свободного семейства (соотв. семейства образующих) в ?; в самом деле, подмножество X можно отождествить с семейством (ха)ає.ХУ индексированным элементами из X, так что Xa = а для всех аєі
48 гл. II. структура векторного пространства над телом
В частности, векторное пространство, порожденное этим семейством, будет обозначаться Vect(X).
Если множество X состоит из одного элемента а, то векторное пространство VeCt(X) обозначается Да или а/С, смотря по тому, является ли E левым или правым векторным пространством над K1 и называется векторной прямой, порожденной вектором а1).
> Наконец, понятия суммы, прямой суммы ВПП и дополнительного ВПП немедленно распространяются на случай пространств над телами (см. упр. II. 3 и II. 6).
Теорема о замене
В § 3 мы покажем, что теория размерности тоже без затруднений распространяется на левые (или правые) векторные пространства над телами. Вначале мы установим во всей общности следующий основной результат:
> Теорема 2.1. Пусть E — левое (или правое) векторное пространство над телом К, G— подмножество образующих и А = {аь ..., ар} — свободное конечное подмножество в Е.
Тогда в G найдется р попарно различных элементов bu b2, ..., Ьр, таких, что A (J (G\{bu b2, ..., bp}) будет подмножеством образующих для E2).
Другими словами: можно заменить в G элементы b\9 ,.., bp элементами аь ..., ар, так что G сохранит свойство быть подмножеством образующих в E — отсюда и название «теорема о замене».
Доказательство. Не нарушая общности, предположим, что E — левое векторное пространство.
Положив Ak = {au а2, ak) для каждого 2, р}, заметим, что Ak есть свободное подмножество в E (так как Ak содержится в A)1 и проведем индукцию по k\ именно, установим, что для любого k е {1, 2, ..., р) в G существует подмножество Bk = {bu b2, bk) мощности k, такое,
1J Разумеется, при а ф 0. — Прим. перев. 2) Напомним здесь, что G \В обозначает множество, состоящее из элементов G1 не входящих в В.
» ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ ТЕЛОМ 40
что Gk = AkU {G \Bk) является подмножеством образующих для Е.
a) При k=l утверждение верно; в самом деле, u\ Ф О, так как А свободное. Так как G — множество
m
образующих, можно записать ах = Z X?g?t где g\9 ...
gm — различные элементы G. Так как не все Xi равны нулю, положим Xj ф О и введем обозначения X = Xj9 Ъх = gj. Тогда
bi = X~xax — Z X~~lXigi.
Это показывает, что Ь\ принадлежит векторному пространству, порожденному Gi = Ia1)(J(GXIbI}); итак, всякая линейная комбинация элементов G есть линейная комбинация элементов из G\|&i} и а\. Иными словами, Gj есть множество образующих для Е.
b) Предположим, что утверждение верно до неко* торого k < р. Поскольку Gk = Ak[j (G\Bk) — множество образующих, можно положить
m k
^+I=Z hSt + Z №п
где gu gm—-различные элементы из Q\Bk\ так как А — свободное подмножество, то найдется хотя бы один индекс ..., m}9 такой, что
Xj ФО. Полагая X = Xj9 bk+l=**gf и Bk+l = Bk\J
U{bfc+i} = {bb •••> ьь найдем, что вектор
