Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
> Следствие. Пусть H11 Hq — векторные гиперплоскости с уравнениями соответственно fi = 0, ... ..., fq = 0. Тогда векторные гиперплоскости, содержащие Hi{]H2{] ... П Hq) — это те, которые могут быть
q
заданы уравнениями вида ? ^f/= 0.
(Это геометрическая формулировка предыдущего результата.)
Предложения 7.3 и 7.4 лежат в основе теории неопределенных множителей, которая встречается в механике и вариационном исчислении.
Ранг транспонированного отображения
> Теорема 7.5. Пусть E1 F — два левых векторных пространства над одним и тем же телом К и ф: E-+ -+F — линейное отображение. Тогда ранг транспонированного отображения 'ф: F*-+E* равен рангу ф.
Доказательство. Применив предложения 5.3 и 6.4, получим: rg (*ф) + dim Ker (?) = dim (F*) и Кег('ф) = = (1тф)°; с другой стороны, dim (Im ф)0=-- dim (F) — — dim (Im ф), и в силу dim (F) = dim (F*) имеем
rg (*ф) = dim (F) — dim (Im ф)° == dim (Im ф) = rg ф. ? Матричная интерпретация. Пусть отображение ш определено своей матрицей А = (а//)іс*<я. к/
70 гл. іг. структура векторного пространства над телом
в базисах В = (е^х<і^п пространства ? и Br = — (ek)i<k<p пространства /\ Тогда (см. § 5)
(п \ р п
Z VJ = ^ где ^=Z
Образ k-й координатной формы ук на F пря отображении 'ф есть, таким образом, форма fkz
п
х*-+ Z xfiki ? ^p). Образ при отображении 1 = 1
базиса, дуального к есть (/ь /р), и матрица fq> в дуальных базисах к В' и ? образована коэффи-; циентами форм Это есть, таким образом, транспо* нированная матрица к A9 т. е. полученная из А перестановкой строк и столбцов.
С учетом теоремы 7.5 мы получили следующий важный результат:
> Предложение 7.6. Ранг матрицы не изменяется при ее транспонировании.
8. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
НА ЕГО СОПРЯЖЕННОЕ (КОММУТАТИВНЫЙ СЛУЧАЙ,
КОНЕЧНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ)
На протяжении всего этого параграфа E обозначает конечномерное векторное пространство над некоторым полем. Мы докажем, что существует биективное соответствие между изоморфизмами E на Е* и невырожденными билинейными формами на Е.
Пусть / — изоморфизм E на ?*. Для любого у ^E его образ I (у) есть линейная форма на Е. Обозначим-через В(х9 у) = I(у) (х) значение функции I(у) на элементе хє?; мы получим билинейную формул В: E X^E-+К, (х9 y)h->B(x9 у) (отображение EУ,E в /С, линейное по каждому из аргументов х9 у).
Если отождествить E с его вторым сопряженным, то транспонированное отображение Ч отождествится с отображением /: Е-+Е*9 таким, что (Vy^E] J(y) = yjL.I, где (V/g=?*) y(f) = f(y). Таким образом, для каждого х є ? получаем (полагая / = /(*))] / (У) {х) = У{1 (X)) - / (х) (у) = В (у} х).
8. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА ' f\
Так как по теореме 7.5 / и / одинакового ранга, то / также является изоморфизмом E на Е*\ равенство (У) (х) — В (у, х) показывает, что билинейная форма, ассоциированная с /, есть форма *ВУ определяемая равенством *В(х9 у) = В(у, х) и называемая транспонированной по отношению к ІЗ.
Обратно, пусть В: E Y,E-+К—билинейная форма на Е. Для каждого у ^E обозначим В(-Уу) линейную форму E-+K9 х*-+В(х9 у)\ пусть аналогично В (у, •) есть линейная форма E-+K9 х\-+В(у9 х). Тогда отображения
/:?->?*, у*->В{.уу) и J: Е-+Е\ yv-+B(y9-)
линейны и взаимно транспонированы, а следовательно, имеют одинаковый ранг. Поэтому мы можем ввести
Определение 8.1. Билинейная форма В на E называется невырожденной, если линейные отображения
1:у*-*В{-9у) и 1:уь-*В(у9-)
имеют ранг п = dim Е. Итак, имеет место
> Предложение 8.1. Если E — конечномерное векторное пространство над полем, то изоморфизмы E на его сопряженное имеют вид/: у*—>В('9 у), где В — невырожденная билинейная форма на Е.
Использование базисов. Обозначим через е== = (^)1 ^j^n базис Е\ тогда каждая билинейная форма В на E запишется в виде
/Yl П \ Yl
ByLxtet, Ly^jJ= Tt{alixiyh где ац = В(еІ9 ej). Для каждого / образ I (ei) вектора et при отобра-
п
жении /: у*—>В('9,у) есть линейная форма L аыхи*
/г= 1
Матрица отображения / в дуальных базисах е = (е{) и е* = (Xi) равна, таким образом, матрице (аы) билинейной формы В в базисе (ei). Для того чтобы I было изоморфизмом, необходимо и достаточноь что-
72 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
бы детерминант этой матрицы был отличен от нуля.
Отсюда видно также, что матрица отображения J: Е-+Е*, yv—> В(у, •) в базисах (ei) и (хї) получается транспонированием матрицы (аы)\ она равна матрице билинейной формы *В: (х, у)*—>В(у, х) и имеет тот же ранг, что и матрица формы В.
Ортогональность в Е. Задание изоморфизма E на ?* позволяет определить отношение ортогональности на самом Е: элемент у в E называется ортогональным KX^E1 если /(у) (х) = 0, т. е. если В(х, у) = 0.
Но это отношение ортогональности получает интересное развитие только в случае, когда оно симметрично, т. е. когда В(х, у)== 0 равносильно В(у> х) — 0- Последнее имеет место в двух следующих случаях (см. упр. И. 18):
i) форма В симметрична, т. е. для любых (х, у)& е E2 выполнено В (х, у) = В (у, х);
