Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
2) Отображение R->H, х*-*>(х9 О, О, O) есть инъективный гомоморфизм R на центр тела H ')•
В случае некоммутативных тел вводится новое по-* нятие.
Определение 1.2. Антиизоморфизмом тела К на тело К' называется биекция А: К->К\ для которой
(VW у)^К2) h{x + y) = h{x) + h(y) и
А (ху) = А (у) А (х),
откуда снова вытекает, что
A(Ok) = O*', А(1*)=1*' и (ух є КГ)
A(J-I) = [A(JC)]-1.
Автоморфизмом (антиавтоморфизмом) тела К называется его изоморфизм (антиизоморфизм) на себя,
1) Точнее говорить об инъективном гомоморфизме R в IH а тем самым изоморфизме R на Z10. — Прим, перев.
44 ГЛ II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Примеры. 1) Если С — поле комплексных чисел, то отображение сопряжения х + iy •—^ х — іу является автоморфизмом С (автоморфизм сопряжения).
2) Если IH—тело кватернионов, то отображение
з з
h\ qQe0 + ? q&i qQe0 — ? qtet
есть антиавтоморфизм тела H-
3) Если /С — некоммутативное тело, то внутрен* ние автоморфизмы ha: х»—*-аха~{, где а є/С*, являются автоморфизмами К; если ^ — тело, противоположное Ky то тождественное отображение Id* является антиизоморфизмом К на К.
4) Поле K — Z/pZ (обозначаемое также Zp)9 где р — простое число, не допускает других автоморфизмов, кроме тождественного; действительно, любой элемент К имеет вид п-\Ку где neN, и, значит, сохраняется при любом автоморфизме поля К.
Задача перечисления автоморфизмов тела
Как мы увидим далее (§ III. 8 и IV. 12), изучение аффинной или проективной геометрии приводит к задаче определения всех автоморфизмов основного тела. Приведенный выше пример 4 и теорема 1.8.4 решают эту задачу для полей Zp и R: эти поля не допускают автоморфизмов, отличных от тождественного.
Более глубокое изучение алгебраических свойств тела кватернионов позволяет доказать, что единствен* ными автоморфизмами этого тела являются внутренние автоморфизмы hq: H H, х qxq~l (q є H*) (см. [BE], т. 2, § 8.9).
Наконец, можно доказать, что поле С допускает бесконечное множество автоморфизмов, отличных от тождественного и от автоморфизма сопряжения (см. [BOl], упр. 1 в § V. 6 и упр. 2 в § VI. 9); однако среди них нет ни одного, сохраняющего подполе R или непрерывного в обычной топологии С.
Эти примеры показывают разнообразие возможных ситуаций.
2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ TEJIOiM 45
Задача описания всех конечных полей
Прежде всего в [AR], гл. I, и в [LF-AR], т. 1, упр. IV. 20, можно найти доказательства следующей знаменитой теоремы:
> Теорема Веддерберна. Всякое конечное тело ком* мутативно.
С другой стороны, можно доказать, что характеристика р конечного поля отлична от нуля и что порядок такого поля (т. е. число его элементов) имеет вид pd, где d^L N* (см. упр. I. 14).
Существование конечного поля характеристики р и порядка pd следует из теории Галуа (см. [ML-BI]1 т. 2, гл. XVII; примеры есть в упр. I. 15—I. 18). Отметим еще, что два конечных поля одной и той же ха^ рактеристики и одинакового порядка изоморфны1),
Упорядоченные тела
Общая проблема упорядоченных тел рассматривается в книге [AR], гл. I2). Там можно найти принадлежащий Гильберту пример некоммутативного упорядоченного тела.
Напротив, некоммутативного упорядоченного тела, удовлетворяющего аксиоме Архимеда, не существует (см. упр. I. 10).
2. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ ТЕЛОМ
> Определение 2.1. Пусть К— какое-либо тело, не обязательно коммутативное. Левым векторным про* странством над К называется абелева группа (?, +)> снабженная внешним законом композиции
(Я, х)\—^Хх, таким, что3)
1J Очевидно, что равенство характеристик вытекает из равенства порядков. — Прим. перев.
2) Там же (гл. I, § 9 русского издания) дано и определение упорядоченного тела в общем случае. — Прим. перев.
3) Во избежание недоразумений элементы К (называемые скалярами) по большей части обозначаются греческими буквами, а элементы E (называемые векторами)—латинскими. В виде исключения нуль тела К и нуль векторного пространства E будут обозначаться одинаково как О,
*46 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
i) (V х ge E) 1 • X = X
ii) (V(^ X9 y)t=KXEXE) Х(х + у) = Хх + Ху,
in) (V(^ \i,x)<=KXKXE) (X + ix)x = Xx + \xy9
Iy) (V(Ь, \1, X)^=KXKXE) X(\хх) = (Х\х)*.
Эти условия влекут K-O = O для всех X^K и О* «. # = 0 для всех X є ?.
> Точно так же правое векторное пространство над К есть абелева группа (?, +)> снабженная внешним законом композиции EXK-^E9 (х9 X) ь-> лсЯ, таким, что
і) (V# є E) X • 1 = X
H) (7(?, jp, у)<=КХЕХЕ) (х + у)Х = хХ + уХ9 Ui) (V(Я, х) ^ KXKXE) X{X + jx) = хХ + iv) (v(*i I*. *)€=*CXffX?) (дЛ)|і = *(Я|і).
Во избежание путаницы элементы из К часто будут называться «скалярами», в то время как элементы из E — «векторами».
Заметим, что К имеет двойную каноническую структуру векторного пространства, левого и правого4 над самим собой.
Замечания. 1) Понятно, что не возбраняется писать (X, х)\—>Хх (где К и Are E) и для внешнего закона композиции правого векторного пространства, но тогда Ш) принимает вид [і(Хх)= (X[i)x\ это показывает, что правое векторное пространство над К может рассматриваться как левое над телом R9 противоположным К»
