Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Для любой формы [єР и каждого k ^ К имеем
что и доказывает линейность 'ф.
Наконец, Кег('ф) есть множество таких /ер, что /оф(#)=0 для всех х^Е; иными словами, Кег('ф) есть множество таких / єР, которые равны нулю на ф(?)=1тф, откуда (3) следует по определению ан-нулятора. ?
Разумеется, все результаты этого параграфа сохраняют силу при перестановке слов «левый» и «правый».
7. ДУАЛЬНОСТЬ В КОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Если E конечномерно, то результаты предыдущего параграфа могут быть усилены.
Теорема 7.1. Пусть E — векторное пространство конечной размерности п\ тогда и сопряженное пространство Е* имеет ту же размерность п\ если B = [єі)х<і^п — базис Е, то п координатных форм (Xt)1 <і<п составляют базис ?*, называемый дуальным базисом к В.
Доказательство. Если E — левое векторное пространство, то всякая линейная форма на нем единственным образом записывается в виде
Таким образом, п координатных форм хь—>xt составляют базис в ?*; координатами / в этом базисе являются скаляры ft = fffit). D
'ф (/*) (X) = / (Ф (X)) k или <ф (fk) = ('ф (/)) k и, с другой стороны,
(V(Л g) Gf X?*) *ф (/ + g) = /0 ф + g о ф = 'ф (/) + 'ф (g),
7. дуальность в конечномерном случае
67
Следствие. Если E— конечномерное векторное пространство, то отображение /: Е-+Е**9 xt—>?, определяемое условием
(V/єіҐ) *(/) = /(*),
является изоморфизмом, что позволяет отождествить E и его второе сопряженное пространство ?**.
Доказательство. E** имеет ту же размерность п9 что Е* и Е. Поскольку / линейно, достаточно доказать его инъективность, что делается элементарно: если X — элемент Et такой, что х = О, то x(f) = О для всех / є Е* и, в частности, для каждой координатной формы Xi в некотором базисе В пространства Е. Имея нулевые координаты, вектор х равен нулю: х = 0. ?
Важное замечание. Если E — левое (соотв. правое) векторное пространство, то Е* является правым (соотв. левым) векторным пространством. Поэтому не существует изоморфизма E на Е*9 кроме случая, когда К — поле. Но даже в этом случае не существует канонического изоморфизма E на Е* (т. е. изоморфизма, однозначно определенного самой векторной структурой, независимо, например, от выбора базиса в E). Мы увидим ниже (§ 8), что в случае, когда К — поле, задание изоморфизма E на Е* равносильно заданию на E невырожденной билинейной формы.
Соответствие между векторными подпространствами в E и Е*
Каждому ВПП X в E отвечает ВПП X0 в Е*9 ортогональное к X. Уточним характер этого соответствия.
^ Теорема 7.2. Пусть Е— векторное пространство размерности п. Если X — его ВПП размерности р (0^ р ^n)9 то ортогональное к нему ВПП X0 в ?* имеет размерность п — р. Если отождествить E с его вторым сопряженным пространством с помощью канонического изоморфизма J9 то (X0)0 = X.
Доказательство. Пусть (еь)х ^і<п — базис E9 полученный пополнением базиса (^)i^f^p подпростран-
3*
68 гл. ii. структура векторного пространства над телом
ства X. Тогда / є X0 в том и только том случае, если
/(*1) = /Ы= ... =/(*р) = 0;
таким образом, X0 есть множество линейных отображений E в К вида
л п
і=! /-Р+1 '
где /„ — элементы /С.
Иначе говоря, п — р координатных форм хр+и ... Xn образуют базис X0 (аннулятора X).
Такие же рассуждения показывают, что (еь ..ер) образуют базис в (Z0)0, т. е. (X0)0 = Х.
Следствие. 1) Отображение Xv->Х° есть биекция множества ВПП в E на множество ВПП в Е*.
2) Если А — любое подмножество в E и E отождествлено со своим вторым сопряженным, то (A0)0 = = Vect(A).
Приложения
> Предложение 7.3. Если X есть ВПП размерности р пространства E и р < п = d\m(E)t то существует система из я — р линейных форм /і, fn-Pl таких, что
xz=X<^fx(x) = h(x)= ... =/„_,(*)=: 0, (1)
и каждая линейная форма /е?*, обращающаяся в нуль на X1 является линейной комбинацией форм
/b - - - , fn-p-
Доказательство. Соотношение {I) показывает, что X—множество векторов, ортогональных к подмножеству А = {/ь fn-p} элементов ?*, или X = A0, это равносильно X = (VectA)° или X° = Vect(A). Условие (1) выполняется, таким образом, тогда и только тогда, когда А — множество образующих для X°t т. е. базис X0 (так как dim (X0) = п — р). Отсюда и следует наше утверждение. ?
> Напомним, что линейные формы на E называются независимыми, если они образуют свободное подмножество в Е*. Предложение 7.3 показывает, что если
7. дуальность в конечномерном случае 69
dim E = п, то каждое ВПП в E размерности р может быть задано системой п — р независимых линейных уравнений в декартовых координатах.
Если рассматривать необязательно независимые линейные формы, то справедливо
> Предложение 7.4. Если /, fi, fq— линейные формы на E1 причем из q соотношений fx(x) = Oy ...
M*) = 0 вытекает f(X) = O1 то / является линейной комбинацией форм /ь fq.
Доказательство. Положим y = Vect(fb fq) и обозначим через /° подпространство, ортогональное к {/}. Высказанное предположение может быть выражено в виде У0 с:/0, откуда (/0)0 с: (У0)0 или Vect(f)c: с: У и У, что и дает требуемый результат. ?
