Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
ii) форма В кососимметрична, т. е. для любого х^Е имеем В(х, х) = 0 ]).
Первый случай представляет предмет изучения в ортогональной геометрии, ассоциированной с квадратичной формой X у—> В(х, х)\ евклидова геометрия есть частный случай, когда К = R и форма В положительно определенная2).
Изучение второго случая составляет предмет сим-плектической геометрии.
По поводу этих геометрий см. более специальные сочинения ([AR], гл. Ill, [DE]).
9. О БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
На протяжении предыдущих параграфов мы изло« жили некоторые свойства конечномерных пространств. Чтобы удовлетворить законное стремление к наибольшей общности, мы укажем здесь на некоторые трудности, возникающие при переходе от конечной размерности к бесконечной.
1J Если car К = 2, то условие і) равносильно условию UJ4 Случай car К = 2 обычно исключается. — Прим. перев.
2) Если К = R, но форма В знаконеопределенная, то говорят о псевдоевклидовой геометрии, Прим. перев.
9 О БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
73
> Прежде всего выражение «бесконечная размерность» не должно вводить нас в заблуждение: оно означает лишь, что рассматриваемое пространство не допускает конечного базиса. Два бесконечномерных векторных пространства над одним и тем же полем необязательно изоморфны.
Контрпример 1. По построению, векторное пространство R [X] многочленов над R допускает счетный базис (Хп)п (см. § 2); можно заметить, что R[X\ отождествимо с множеством конечных последовательностей действительных чисел.
Напротив, векторное пространство RN, образованное бесконечными последовательностями действительных чисел, не допускает счетного базиса и потому не изоморфно R [X], хотя оба пространства «бесконечномерны».
В самом деле, последовательности sa: п*—>па9 где а пробегает R+, образуют свободное несчетное семейство элементов RN (см. упр. 19). Если бы RN допускало счетный базис (#/)*<= N> то каждое из множеств
An = {а є= R+ I sa є= Vect (а0, аи ..., ап)}
было бы конечным мощности, не превосходящей п + 1 (так как размерность Vect(a0, а\9 ап) равна п+ 1), и их объединение, равное R+, было бы счетным, что приводит к противоречию.
Контрпример 2. R есть векторное пространство над Q, не имеющее счетного базиса и потому неизоморфное Q [X].
В самом деле, предположим, что R, рассматриваемое как векторное пространство над Q, допускает счетный базис (an)ASN. Тогда для любого п є N подпространство An = Veci(aQl аи ап+\) изоморфно Q"+1 и потому счетно. Счетным оказалось бы и R= [j АП9 что противоречит несчетности R.
(О существовании базисов IR над q говорится в
§ щ
74 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
О распространении свойств на случай бесконечной размерности
Среди классических свойств конечномерных векторных пространств, формулировка которых сохраняет) смысл и в бесконечномерном случае, мы будем различать три категории свойств.
1° Некоторые свойства становятся неверными, если хотя бы одно из рассматриваемых векторных пространств бесконечномерно.
Примеры, а) Утверждение «каждый инъективный или сюръективный эндоморфизм E является автоморфизмом» неверно, если E бесконечномерно.
Контрпример 3. Пусть E = К [X]; эндоморфизм Pt-*XP инъективен, но не сюръективен (образ не содержит констант). Аналогично, эндоморфизм
К [X] - К [Xl t akXk н-> t akXk~x
к-О A=I
сюръективен, но не инъективен.
b) Утверждение «любое ВПП в Et изоморфное Е% совпадает с Е», верное в конечномерном случае (см, § 3 и 5), не имеет места в бесконечномерном случае.
Контрпример 4. Пусть E = K[X]; подпространство Eq9 образованное многочленами без свободного члена
п
вида P=Z akXk, является образом E при инъектив-
ном эндоморфизме Рь-+XP и, следовательно, изо* морфно E9 но отлично от Е.
c) Утверждение «дополнительные подпространства для двух изоморфных ВПП Е\9 E2CiE изоморфны», очевидное в конечномерном случае (уже ввиду одинаковой размерности дополнительных подпространств), в бесконечномерном случае ошибочно.
Контрпример 5. Пусть E = K[X]9 a E0 то же, что в предыдущем примере. Тогда E допускает в качестве дополнительного подпространства {О}, a Eq — вектор ную прямую, составленную из скаляров»
Э. О БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
75
d) Утверждение «пространство, сопряженное с E1 изоморфно Е» верно для конечномерного пространства E над полем, но не имеет места в бесконечномерном случае.
Контрпример 6. Пусть zj=ir [X]; так как последовательность (Хп) образует базис в E1 то задание линейной формы f на E равнозначно заданию последовательности действительных чисел (fn — f(Xn))neNa ким образом, Е* изоморфно уже изученному нами
пространству RN бесконечных последовательностей действительных чисел, не изоморфному E=R[XJ (контрпример 2).
2° Некоторые свойства переносятся на случай бес* конечной размерности путем видоизменений в доказательствах.
Примеры, а) Если X—ВПП в Е, a Y, Z— два до* полнительных к X подпространства, то Y и Z изо* морфны.
Если E имеет конечную размерность /г, то достаточно заметить, что dim Y = п — dim X = dim Z.
