Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Применяются выплаты дохода по облигациям по фиксированным и переменным во времени процентным стайкам. В последнем случае применяется ступенчатая процентная ставка. Например, для большей финансовой привлекательности процентная ставка возрастает по годам. Возможна также плавающая процентная ставка и зависимости от уровня ссудного процента.
Для защиты от инфляции практикуется индексирование номиналов облигаций пропорционально индексу потребительских цен.
Для облигаций без вышиты процентов выкупная цена устанавливается ниже номинальной и доход выплачивается при погашении облигаций.
Доходом от облигаций являются фиксированные проценты в сумме с разностью между номинальной стоимостью облигации и ценой ее покупки, а также доходом от реинвестиций процентных денег,
Под курсом облигациирк % понимается отношение цены Р, но которой продастся облигация, к номлиалыюй стоимости облигации в процентах:
р % =Е-юо%. (15.116)
N
Пример 27.
Номинальная стоимость облигации IC)OO лен. ед. Продается она по
цене 950 ден. ед. Определить курс облигации.
Решение.
Из формулы (15.116) следуег, что * 1000
15.5. Некоторые приложения финансовой математики 361
Несмотря на более ннзкніі доход по сравнению с другими видами цен-н ы X бу м а г, об л н га і и-1 и — би і л ее 11 аде ж 111 j н м е ¦ го д и и і* ест 11 ц и fi ка п итад а и поэтому находят широкое применение в финансовой практике, являясь обязательной составляющей активов страховых, инвестиционных и пенсионных фондов, финансовых компаний.
Облигации без выплаты процентов
Прибыль от облигации представляет собой разность .между номинальной стоимостью и ценой.
Пусть jV - номинальная стоимость облигации, р- продажная цевіа облигации, D — доход от продажи облигации, тогда
D = N р. (15.117)
Из выражения (1.1116):
p = pK%N/[00%7 (15.118)
Тогда
D = N-P=N- рк% N/100 % = Лг (1 - рк% N/100 %). (15.119)
У таких облигаций обычно короткий срок погашения (ди гида). Определим доходность покупки облигации по ставке простых процентов:
S = p(\ +1.//K)=PxXNZWOX(I + 'Ц/К). (15.120)
где S— наращенная сумма; t/K — срок, на который выпущена облигация; і,, — эффективная ставка простых процентов.
Доход от покупки облигации составит:
I) = S-р. (15.121)
Учитывая (15.120), получим:
D = W(I -рк%/Ш%\ (15.122)
і, = А' (100 % - pK%)/tpK%. (15.123)
Определим доходность покупки облигации по ставке сложных процентов:
J=P(I +/\)'Л D = S-p = p(\ +!',,)"'-р. (15.124) где i3 г - эффективная ставка сложных процентов. С учетом (15.118) получим:
O = I(I +i,fy--K-l]pK%N/№%. (15.125)
2*- 1122
362 Глава 15. Элементы финансовой математики
Приравнивая правые части выражений (15.122) и (15.125), найдем: !„ = (100«/?%)*"--1. (15.126)
Пример 28.
Инвестиционная компания купила 50 облигаций номинальной стоимостью 50 тыс. лен. ед. каждая по курсу 95 %. Срок погашения — 4 месяца. Определить эффективную ставку прибыли по простым и сложным процентам и прибыль от сделки.
Решение.
Доход от покупки одной облигации но формуле (15.122) составит:
Д = ЛЧ1-рк%/100%) = 50(1-95%/100%) = 2,5 Тыс. ден. ед.
Доход от покупки 50 облигаций равен:
2,5-50= 125 тыс. ден. ед.
Эффективная ставка прибыли по простым процентам по формуле (15.123) составит:
I3 = К (100%- рк%)/tpK% = 12 (100 % - 95 %)/4 - 95 % = 0,1579,
;> 15,79%.
Эффективная ставка прибыли по сложным процентам по формуле (15.126) равна:
ц г = (100 %/рк%)к" - 1 = (100 %/95),ZM = 0,1664, і, ,= 16,64 %.
Облигации с выплатой процентов в конце срока погашения Обычно такие облигации выпускаются на продолжительный срок. Прибыль на них состоит из процентов, рассчитанных по ставке сложных процентов, и разности между номинальной стоимостью и ценой покупки. Доходность облигации с номинальной стоимостью Л\ сложной процентной годовой ставкой ir и ценой продажи р составляет:
D = N-p + N(\ +it)n-N, (15.127)
где выражение N (1 + - /V — процентные деньги, р = Л(рЛ%/100%. Тогда
D = JV(Cl + іг)" - рк%/\00 %]. (15.128)
15.5. Некоторые приложения финансовой математики 363
Выведем выражение для определения эффективной годовой ставки сложных процентов. Приравняем вторую формулу (15.124) и (15- 128); .учитывая, что срок погашения облигации п = t/K и />Л-%/100 % = p/N, найдем iJt:
Р'О+ W/K -P = NHi + І,Г - p,%/\QQ %],
(1 + і,,.)"* = (.V[(1 + ie>" - pK%/\00 %]/p\ + 1,
= {{[(1 + KT - PkVIOO %\/p/N] + П1Л - 1 =
= [<! +и/Ок%/100%)^1 - 1. (15.129)
Пример 29.
Инвестиционная компания приобрела 20 облигаций по 150 тыс. ден. ед. со сроком погашения 2 года. Облигации, выпущенные под процентную ставку сложных процентов 8% годовых, приобретены по курсу 98 %. Определить прибыль от покупки и эффективную ставку сложных процентов.
Решение.
По формуле (15.128) найдем прибыль от покупки одной облигации:
D = N\(\+і,Г-рк%/100 %] = 150((1 + 0.08)3 - 98%/100 %| = = 27,96 тыс. дсн. ед.
Прибыль от покупки 20 облигаций составит:
