Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
\. С конверсией, когда рублевая сумма конвертируется в какую-либо конкретную валюту и инвестируется в валютный депозит. Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции вновь конвертируется в рубли.
Операции без конверсии не представляют сложности. В операции наращения с двойной конверсией имеются два источника дохода: начисление процента н изменение обменного курса. Причем начисление процента является безусловным источником (ставка фиксировала, инфляцию не рассматриваем). Изменение обменного курса может как быть источником дополнительного дохода, так и приводить к потерям. Остановимся на двух вариантах, предусматривающих двойную конверсию (варианты 2 л 4).
Введем обозначения:
P1 — сумма депозита в валюте,
Рг — сумма депозита в рублях,
.1V — наращенная сумма в валюте,
S, - наращенная сумма в рублях,
— курс обмена в начале операции.
K1 — курс обмена в конце операции,
н — срок депозита,
і — ставка наращения для рублевых сумм (в виде десятичной дроби),
j — ставка наращения для конкретной валюты.
Рассмотрим вариант:
ВАЛЮТА => РУБЛИ => РУБЛИ => ВАЛЮТА.
Операция состоит из трех этапов: обмена валюты на рубли, наращения рублевой суммы, обратное конвертирование рублевой суммы н исходную валюту. Наращенная сумма, получаемая в конце операции в валюте, составит
15.5. Некоторые приложения финансовой математики 349
S1 = PJCtV+«I)ZK1. (15.94)
Как ешдим. три этапа операции нашли свое отражение в этой формуле в виде трек сомножителей.
Множитель наращения с учетом Двойного конвертирования
in = — (1 +т) = ¦--- =-, (lnito)
A", (K1ZK0) k
где A = X1ZKn-TtMn роста обменного курса па срок операции. 14а (15.95) слелуе'і. что множитель наращения т связан линейной зависимостью со ставкой і и обратной — с обменным курсом в копне операции А', (или с темпом роста обменного курса к).
Исследуем зависимость общей доходности операции с двойной конверсией от соотношения конечного и начального курсов обмена к.
Простая годовая ставка процентов, характеризующая доходность операции,
Sr -Р,
і, -
Pn
Подставляя в эту формулу выражение для S1., получаем:
. ^KJKll\ + ni)-l = l(l + m) 1 (1596)
Tf k п п'
Из (15.96) следует, что с увеличением к доходность і, налает. При к = 1 доходность операции равна рублевой ставке, т. е. г, = і. Величина J1 < і при к > 1 її > і при к < 1. При некотором критическом значении к, которое обозначим как к*, доходность операции равна нулю. Из равенства ія = 0 находим:
k* = \ + пі, (15.97)
что означает
К] = K0(I +пі). (15.98)
Таким образом, если ожидаемые величины к или K't превышают свои критические значения, го операция убыточна (j, < 0).
Определим максимально допустимое значение курса обмена в конце операции К,, при котором эффективность будет равна существующей ставке но депозитам в налюте. и применение двойного конвертирования не дает никакой дополнительной выгоды. Для этого приравняем множители наращения для двух альтернативных операций
1 +л/ = (1 +пїЖа/Ку Из подученного равенства следует, что
max К\ = Ко ( L + ?п)/( \ + nj) <15.99)
ИЛИ
max * = К,/К0 = (1+ яі)/( 1 + и/)- (15.100)
Таким образом, депозит валюты через конверсию в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в копне операции ожидается меньше max К,.
Рассмотрим вариант:
РУБЛИ =» ВАЛЮТА => ВАЛЮТА РУБЛИ.
Это операция с двойной конверсией, когда исходная и конечная суммы в рублях. В dtom случае трем этапам операции соответствуют три сомножителя для наращенной суммы:
sr =-?-0+ +(15.K)I)
Проведем анализ эффективности этой операции и определим критические точки.
Доходность операции в целом определяется по формуле
S, -Р,
Р.п
Отсюда, подставив выражение-для .Я, нолучимл
п п
Зависимость показателя эффективности ^ от к линейная, )_,=_/ при k= І. і,, >j при к > 1,11 < j при к < 1.
Найдем крігткчсское значение к*, при которых i, = 0:
А* = 1/(1+ /у) или A-^1 = X1JZ(I+«;). (15.103)
Таким образом, если ожидаемые величины k или Л', меньше своих критических значении, то операция убы точна (г, < 0).
Минимально допустимая величина k (темпа роста валютного курса за весь срок операции), обеспечивающая такую же доходность, что и
15.5. Некоторые приложения финансовой математики 351
прямої] вклад в рублях, определяется путем приравнивания множителей наращениядля альтернативных операций (или из равенства г, = і):
К. (1 + ту)/K0= 1 і т.
откуда
rain /г = (1 + т)/{ 1 + nj)
или
min A1 = A0(I + лг)/(1 +nj). (15.104)
Таким образом, депозит рублевых сумм через конвертацию в валюту выгоднее рублевого депозита, если обменный курс в конце операции ожидается больше min A1.
PaCCMOT]mlm вариант совмещения конверсии валюты и наращения сложных процентов:
ВАЛЮТА => РУБЛИ => РУБЛИ ВАЛЮТА.
Три этапа операции запишем в одной формуле для наращенной суммы:
Sr=P1K0(A * J)VA1, (15.105)
где г — станка сложных процентов.
Множитель наращения
