Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
380 Глава 16. Нелинейная регрессия и корреляция
использоваться в эконометричсских исследованиях. Однако гораздо большее распространение получили модели, приводимые к линейному виду. Решение такого типа моделей реализовано в стандартных пакетах прикладных программ.
Из нелинейных функций і которые могут быть приведены к линейно^ му виду, в качестве нелинейной регрессии широко непользуется степенная функция ^1 = ад-*. Это объясняется тем, что параметр Ь в пей является коэффициентом эластичности, показывающим, на сколько процентов изменится в среднем результат', если фактор изменится на і %. Коэффициент эластичности (Э) в качестве нелинейной регрессии вычисляется по формуле
;э=уЧг)л-/1/, (16.12)
где/' (л-) — первая производная функции.
Коэффициент эластичности можно определять и при наличии других форм связи, но только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру Ь. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора д. Например, для линейной регрессии у = а + Ьх имеем:
f(x) = b. Э = Ьх/(а + Ьх).
В силу того что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит or соответствующего значення х, то обычно рассчитывается средний показатель эластичности
^=Ьх/у.
Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах. Например, вряд ли кто будет определять, на сколько процентов изменится урожайность пшеницы, если качество почвы, измеряемое в баллах, изменится на 1 %. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наименьшего значения остаточной вариации), не может быть экономически интерпретирована.
В моделях нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду MHK применяется к преобразованным уравнениям. Если в линейной модели и моделях нелинейных но переменным
16.2. Нелинейная корреляция 381
при оценке параметров исходят из критерия I (и - у\f —* min, то в моделях нелинейных по оцениваемым параметрам требование MHK применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам In 1/х. Это значит, что оценка параметров основывается па минимизации суммы квадратов отклонении в логарифмах. Вследствие этого оценка параметров для линеаризуемых функций MHK оказывается несколько смещенной.
Практическое применение некоторых нелинейных регрессий, например экспоненты, возможно, если результативный признак не имеет отрицательных значений. Поэтому если исследуется, например, финансовый результат деятельности предприятий, среди которых наряду с прибыльными есть и убыточные, то данная функция не может быть использована.
16,2. Нелинейная корреляция
Уравнение нелинейной регрессии, так же как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции R:
где от* — общая дисперсия результативного признака у; a*.ni — остаточная дисперсия, определяемая из уравнения регрессии уЛ -/(*), так кака" = [\?(у-уУ~/п\.яа*„ =[ZO/-i/. -)7"].™
« = ^-(I(.V-.V,)7l^-.V)1]- (16.14)
Индекс корреляции находится в границах О < R < 1 и чем ближе эта величина к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков и более надежно найденное уравнение регрессии.
Пример 2.
Вычислить индекс корреляции на основании данных примера 1.
Значения у у определим путем подстановки в полученное в примере 1 выражение
у, =-2.42-0,44.V+ 1.64.V2 значений .v. равных -2, -1, 0. I, 2 соответственно. Получим:
у, = -2,42 - 0,44 ¦ (-2) + 1,64 - (-2)2 = 5.02. Аналогично находим y-lt yv #,. yTl.
362 Глава 16. Нелинейная регрессия и корреляция
Результаты вычислений приведены в таблице.
.г
У
А
T) - у
т - у)1
1
-г
4.8
5,02
-0,22
0,0484
3,94
15,5236
2
¦л
0,4
-0.34
0,74
0,5476
-0.46
0,2116
3
0
-3,3
.2.-12
0.88
0,7744
-4,16
17,3056
4
і
¦0.6
-из
0.42
0.1764
-1,66
2.755S
5
2
3,2
3,26
-0.06
0.0036
2М
5,4756
I
0
4.3
-
-
1.5504
41,272
Вычислим индекс корреляции по формуле (16.14): R = 1/lrO350'*/4t272) - 0.981.
Индекс корреляции близок к единице, поэтому можно сделать вывод о довольно тесной связи между заданными величинами.
Парабола второй степени, как и полином более высокого порядка, при линеаризации принимает вид уравнения множествен ной регрессии. Если же нелинейное относительно объясняемой переменной уравнение регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения парной регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции, величина которого в этом случае совпадет с индексом корреляции R41 = T111, где г — преобразованная величина признака-фактора, например, z = І/г или г = In х.
Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной, В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признаков лает приближенную оценку тесноты связи и не совпадает с индексом корреляции. Например, для степенной функции у,. = ах*1 после перекода к линейному уравнению In у = In a + b In х может быть вычислен линейный коэффициент корреляции не для фактических переменных X и у, а для их логарифмов.
