Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
16.1 Нелинейная регрессия 377
№.
je
У
iJ
хл
I
-2
А. 8
4
-8
16
-э,е
13.2
2
-1
0,4
1
-1
I
-0,4
U.4
3
О
¦3,3
О
О
0
0
0
А
I
-0,8
I
1 ! '
-0,8
-0,8
5
2
3,2
А
а
16
6,4
12,8
t
I)
4.3
IO
о
34
-м
31,6
На основании полученных результатов расчета коэффициентов система нормальных уравнении примет вид
5ай + Oa1 + Wa.; = 4.3.
- Oa0 + 10«j + 0а.г = -4,4,
1СЦ, + Ой, +34я, =31.6.
Решая эту систему методом Крамера, получим: а0= -2,42, д, = -0,44, а2= 1,64. Таким образом, уравнение нелинейной регрессии на у примет вид
# = -2,42-0,44г+ 1,64г1.
Парабола второй степени при Ь> 0 и с. < 0 симметрична относительно высшей точки, т. е. точки максимума, изменяющей направление связи, а именно, рост на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста — с увеличением возраста повышается заработная плата ввиду одновременного увеличения опыта и повышения квалификации работника. Однако с определенного момента из-за старения организма и снижения производительности труда дальнейшее повышение возраста может приводить к снижению заработной платы работника.
При b < 0 и с > 0 парабола второго порядка симметрична относительно своей низшей точки, что позволяет опредааять минимум функции в точке, меняющей направление связи, т. е. снижение на рост.
Из-за симметричности кривой парабола второй степени далеко не всегда пригодна в конкретных исследованиях, чаще имеют дело лишь с отдельными сегментами параболы.
37 В Глава 16, Нелинейная регрессия и корреляция
К классу нелинейных функций, параметры которых оцениваются Ml IK. следует отнести равностороннюю гиперболу:
Она может быть использована на микро- н макроуровне, например. лля характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, ¦11OiL'! и на с объемом выпускаемой продукции, зависимости времени обращения товаров от величины товарооборота. Классическим ее примером является кривая Филшпса, английского экономиста, характеризующая соотношение между нормой безработицы и процентом Прироста заработной платы,
Для равносторонней гиперболы (16.6) обозначим г = 1/лг, тогда получим линейное уравнение регрессии
оценка параметров которого может быть определена МИК. Система нормальных уравнений составит:
рнзуется нижней асимптотой.
При Ь < О имеем медленно возрастающую функцию с верхней асимптотой при X сс.
Примером такой зависимости может служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов). Математическое описание подобного рода взаимосвязей получило название кривых Энгеля. В 1 SfST г. немецкий статистик Э. Энгель на основе исследования семейных расходов сформулировал закономерность — с ростом дохода доля доходов, расходуемых на про-довольстние, уменьшается. Соответственно, с увеличением дохода доля доходов, расходуемых на непродовольственные товары, будет возрастать. Однако это увеличение не беспредельно, ибо сумма долей, расходуемых на все товары не может быть больше единицы.
Нелинейные регрессии второго класса
Рассмотрим регрессию, нелинейную по оцениваемым параметрам (второго класса). Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне ли-
у = а + Ь/х + е.
(16 6)
у = а + Ь г + е,
16.1. Нелинейная регрессия 379
нейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду- Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции. Например, в эконометрическнх исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция:
у = ахье, (16.8)
где у — объем спроса; х — цена; е — случайная ошибка.
Модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, так как включает параметры а и Ь неаддитнвно. Однако ее можно считать внутренне линейной, так как логарифмирование данного уравнения приводит его к линейному виду:
In у = In а + Ъ In .т + In с. (16.9)
Оценки параметров а и Ь уравнения (16.9) могут быть найдены MHK. Система нормальных уравнений имеет вид
j ? lny = л 1пд + 1пд.\
In^ ]пд- = 1пд? 1п.г + ??(1пд-)г.
Параметр Ъ определяется из системы, а параметр а — потенцированием выражения In а.
При зтом предполагается, что случайная ошибка е функции (16.9) мультипликативно связана с объясняющей переменной х. Если же модель представить в виде
у — а Xі' + с,
то она становится внутренне нелинейной, так как ее невозможно превратить в линейный вид.
К внутренне нелинейным относятся модели вида
у = а +Ьх' +<?, (16.10)
у = й[1-1/(1-г*)]+л (16.11)
Эти уравнения не могут быть преобразованы в уравнения линейные по коэффициентам.
Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные процедуры, успевшость которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода. Модели внутренне нелинейные по параметрам могут
