Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
1. Акций первой фирмы куплено на 50%, второй —на 15%, третьей — на 15 % и четвертой - па 20 % выделенной суммы.
2. Акций первой фирмы куплено на 30 %, второй — на 20 %. третьей — на 20 % и четвертої! - на 20 % выделенной суммы.
3. Акций первой фирмы куплено на 20%, второй — на 30%, третьей - на 15 % н четвертой - па 35 % выделенной суммы.
Часть V
Основы эконометрики
Эконометрика -это дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, методов и приемов, позволяющих на базе экономической теории, анализа, статистики п математпко-статисти-ческого инструментария получать количественные выражения качественных закономерностей.
Курс эконометрики призван научить различным способам выражения связей и закономерностей через экономстрнчеекпе модели и методы проверки их адекватности, основанные на данных наблюдений.
Термин «эконометрика? происходит от двух слов: экономика и метрика (измерение). Он был введен лауреатом Нобелевской премии по экономике норвежским ученым Р. Фришем.
Эконометрика применяет такие методы, как корреляционный и регрессионный анализ, анализ временных рядов, системы одновременных уравнений, а также другие методы, рассматриваемые с использованием теории вероятностен и математической статистики. По сути дела, эконометрика выделилась как самостоятельная наука из математической статистики.
Эконометрика как наука возникла в начале XVIII в. В XlX в. были разработаны такие статистические методы, как множественная регрессия, статистическая проверка гипотез, выборочные методы (Р. Фрши.К. Пирсон, Э. Пирсон и др.), в первой половине XX в. в моделирование структур спроса, потребительских расходов и их эмпирической оценки внесли вклад Р. Аллеи, Л. Маршалл и др. В тот же период начинается изучение производственной функции (Ч. Кобб, П. Дуглас). В 1968 г. первыми лауреатами Нобелевской премии но экономике стали Я. Тииберген и Р. Фриш, внесшие основополагающий вклад в развитие эконометрики.
Значительный вклад в развитии эконометрики внесли отечественные экономисты и математики — Е. Е. Слуцкий, Л. В. Канторович, В. С. Немчинов и др.
Рыночная экономика требует улучшения использования статистической и экономической информации, характеризующей результаты хозяйственной деятельности. Экономические расчеты помогают лучше понять хозяйственные процессы, более достоверно формулировать советы и рассчитывать прогнозы.
Глава 16
Нелинейная регрессия и корреляция
16.1. Нелинейная регрессия
Между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, они выражаются с помощью нелинейных функций.
Различают два класса нелинейных регрессий: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Примерами нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным являются следующие функции:
• полиномы разных степеней: у = а + bx + cx2 + е, у = а + Ьх+схі + + dr' + e;
• равносторонняя гипербола у-а + Ь/х + е.
К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:
• степенная у = а.\}'е\
• показательная у = аЪхег,
• экспоненциальная у = е"'ье.
Во всех приведенных выше и далее регрессиях слагаемое и сомножитель е означает ошибку (погрешность) регрессии случайной величины X на случайную величину у.
Нелинейные регрессии вервого класса
Нелинейная регрессия но включенным переменным (первого класса) определяется, как п в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), так как эти функции линейны по параметрам. Например, в параболе второй степени, которую запишем в виде
376 Глава 16, Нелинейная регрессия и корреляция
у = а„ + а,х + а-р.2 + е, (16.1)
заменяя переменные .V = j1, х2 =х2, получим двух факторное уравнение линейной регрессии:
у = ап + а,х + a-jXi + є, (16.2)
для оценки параметров которого используется MHК. Соответственно, для полинома третьего порядка
у = а„ + o1-T + я-рт* + Ядї3 + е (16.3)
при замене х = хи л^ = д:а, Jf'=? получим трех факторную модель линейной регрессии вида
у = O0 + а,X + й-ьГ3 + fl>v:, + ? (16.4)
и т. д.
Таким образом, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. В экономических исследованиях чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях — полином третьего порядка. Применение MHK для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:
wig + я, X-T+ a-iY^x2 =J^y, ' PoE-*+ ^Е*1 + aiE** = E-^ (16-5)
,apX-r' +«iE** + аіЦх* = E*V
Система содержит 3 уравнения с 3 неизвестными коэффициентами Лф, а,, а-,, и се решение может быть произведено по формулам Крамера.
Пример 1.
Данные результатов наблюдений представлены в таблице.
-2
-1
0
1
2
У
4,8
0,4
-3,3
-0,8
3.2
Определить методом наименьших квадратов параметры ай, а„ са зависимости вида у = аа + а,х + а^х1. Решение.
Составим вспомогательную таблицу и произведем расчеты, необходимые для составления системы нормальных уравнений.
