Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Определить сумму процентов и общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета. При расчетах принять схему 360/360, простые проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение.
В задаче имеются три периода, в течение которых сумма на счете оставалась неизменной: с 20 января по 10 марта (P1- = 1000 ден, ед.; ?, = 10 + 30+ 10 = 50). с 10 марта по 3 мая ((г = 20 + 30 + 3 = 53; P2 = Pt +R, = 1000 лен. ед. + 2000 лен. ед. = 3000 деи. ед.). с 3 мая по 10 октября (P3 = P1 + R7 = ЗООО лен. ед, - 1500 лен. ед = 1500 ден, ед., f3=26 + і -ЗО + 10= 156). Найдем процентные числа:
C1 = ZY;/100,
(15.112)
D= К/і,
(15.113)
C1 = P1(VlOO C2 = P1VlOO C3 = P3VlOO
1000-50/100 = 500:
3000¦53/10O= 1590; 1500-56/100 = 2340,
358 Глава 15. Элементы финансовой математики
Постоянный делитель
D = #j = 360/15 = 24.
Сумма процентов
Z=(C1 + C1+ C3)ZD = (SOO + 1590 + 2340)/24 = = (0, + 0,+0,)/0=184,58 ден. ед.
Сумма, выплачиваемая при закрытии счета
P1+/=1500 ден. ед.+ 184,53 лен. ел. = 1684,58 лен. ед.
Из алгоритма расчета следует, что на каждую сумму, добавляемую па счет или снимаемую со счета, начисляются проценты с момента совершения соответствующей операции до закрытия счета. Эта схема соответствует правилу торговца.
15.5.4. Изменение условий контракта
В практике часто возникает необходимость в изменении условий контракта: например, должник может попросить об отсрочке срока погашения долга или, напротив, изъявить желание погасить его досрочно; в ряде случаев может возникнуть потребность объединить (консолидировать) несколько долговых обязательств в одно и т. д. Во всех этих случаях применяется принцип финансовой эквивалентности старых (заменяемых) и новых (заменяющих) обязательств. Для решения задач по изменению условий контракта разрабатывается так называемое уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какомуглибо одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных контрактов применяются простые процентные ставки, а для средне- и долгосрочных — сложные ставки.
Если в контрактах фигурируют потоки платежей, то при их пересмотре (например, при изменении частоты или размера выплат, сокращении или увеличении срока ренты, отсрочке платежей, выкупе или досрочном погашении остатка ренты) составляется уравнение эквивалентности для приведенных величин потоков по старым условиям и по новым условиям.
Эквивалентный переход от одной ставки к другой
В связи с тем, что контракты могут быть составлены с использованием различных видов ставок, то для сопоставления их доходности возникает необходимость в установлении правил эквивалентного
15.5. Некоторые приложения финансовой математики 359
приведения различных ставок к ставке одного вида. Формулы, устанавливающие правила эквивалентного перехода от одной ставки к другой, выводятся на основе принципа финансовой эквивалентности результатов нарашения (или дисконтирования) по этим ставкам. Следовательно, для их получения достаточно приравнять соответствующие множители наращения (или дисконтирования).
Например, для того чтобы установить эквивалентность между простой ставкой наращения і и простой учетной ставкой d, воспользуемся исходными формулами S = P(I + пі) и P= 5(1 -dn), из которых следует, что S = Iy(I - nd). Приравняем множители наращения:
Из формул следует, что соотношения между этими ставками зависят от срока п.
Аналогично можно вывести формулы Эквивалентного перехода для любой другой пары ставок.
15.5.5. Модели операций с ценными бумагами Облигации
Одним из важнейших инструментов для инвестиций в промышленность и сельское хозяйство является рынок ценных бумаг, в том числе выпуск (эмиссия) облигаций, гарантирующих получение дохода и высокую надежность.
Кроме государства, облигации может выпускать также региональная власть (муниципалитеты), банки и корпорации.
Определение 5. Облигация — вид ценной бумаги, по которой ее владельцу выплачивается ежегодный доход, размер которого заранее установлен в форме определенного процента к номиналу облигации или же выплачивается в виде выигрышей, разыгрываемых в тиражах.
На облигации указываются номинальная стоимость, а также шкуп-пая цена, которая может отличаться от номинальной стоимости, или формула, по которой выкупная цена рассчитывается. Кроме того, указываются срок выкупа эмитентом (предприятием, выпустившим
1 + ni = 1/(1 -nd), получим две формулы эквивалентного перехода:
і = d/( 1 - nd), ?/ = i/(1 + rii).
(15.114) (15.115)
360 Глава ! 5, Элементы финансовой математики
облигацию), норма доходности и сроки выплаты процентов. Обычно проценты выплачиваются ежегодно, по полугодиям или поквартально.
Государственные и региональные облигации выпускаются под гарантии государства и местной власти, облигации корпораций выпускаются под залог имущества.
По сроку погашения различают краткосрочные облигации (несколько недель), среднесрочные (до 7 лет) и долгосрочные (свыше 7 лет). Выпускаются облигации п без указания срока погашения. Такие облигации могут быть выкуплены в любой момент.
