Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
При начислении простых процентов годовая реальная ставка процентов равна
і = [<1 + пг)/У/>-1]/п. (15.73)
учитывая, чтоJp=O + h)'\ получим:
<'=Ц(1+яг)/(1+А)-]-1)/п. (15.74)
При начислении сложных процентов реальная ставка процентов определяется следующим выражением:
і = F( 1 + r)/( I + A)I - 1 = (г - A)/( 1 + A). (15.75)
154. Поточи платежей 339
Пример 20.
На депозит со ставкой 12 % годовых помешены денежные средства сроком на 1 год. Инфляция составляет 10% в год. Найти реальную ставку процентов для случая простых и сложных процентов.
Решение.
При начислении простых процентов годовая реальная ставка определяется по выражению (15.74);
1 = 1,(1 +0,12)/(1 +0,1)] - 1) = 0,018, или 1,8%.
При начислении сложных процентов реальная ставка процентов определяется следующим выражением (15.75):
j = (r-A)/(l + А), 1=(0,12-0,1)/(1+0,1)-0,0198, или 1.98%.
15,4. Потоки платежей
Часто в контрактах финансового характера предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными па иего процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется фонд определенного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т. д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и др.
Определение 1. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления — положительными.
Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая нз этих характеристик является числом.
Определение 2. Наращенной суммой потока платежей называется сумма всех членов последовательности платежей с начисленными нз них процентами к конігу срока ренты.
Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент
340 Глава 15. Элементы финансовой математики
времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.
Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей и порождающей его причиной. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда или общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.
15.4.1. Финансовые ренты
Определение 3. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.
Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты — величина каждого отдельного платежа; период ренты — временной интервал между двумя соседними платежами; срок ренты — время от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода; процентная ставка — ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту; число платежей в году; число начислений процентов в году; моменты платежа внутри периода ренты.
Виды финансовых рент
Классификация рент может быть произведена по различным признакам.
В зависимости от продолжительности периода ренты делят на годовые и р-срочные, где р — число выплат в году.
По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, т раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей. По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.
По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.
15.4. Потоки платежей 341
По числу членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные, и бесконечные, или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.
В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные, или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных сдвигается на определенное время.
Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными, или пастнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются препумерандо, или авансированными. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.
Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.
