Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Наращение процентов на сумму А на и лет дает cvmmv, равную S;
ло + ,г =лЬИі^а + .г =д^^ = А ' (15.86) і і
Отсюда следует, что дисконтирование S дает Л:
StP = A: (15.87)
Коэффициент приведения (дисконтирования) и наращения ренты связаны соотношениями
аЛ,(1 +IT = «.., (15.88)
Sn-. ,іУ = а„:г (15.89)
Определение параметров финансовой ренты
Иногда при разработке контрактов возникает задача определения по заданной наращенной сумме ренты S или се современной стоимости Л остальных параметров ренты: R, п, і.р, т. Такие параметры, как т н р. обычно задаются но согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, п, і. Два из них задаются, а третий рассчитывается.
Определение размера ежегодной суммы платежа R
В зависимости от того, какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана, S или Л, возможны два варианта расчета:
R = SJsn , (15.90)
пли
R = AJan , (15-91)
Определение срока постоянной ренты
Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Решая исходные формулы для SaA
относительно срока л, получаем, соответственно, следующие два выражения:
346 Глава 15. Элементы финансовой математики
u j .. {R)
ft = —- 11 п ,
In(I+і) In(I+ і)
Последнее выражение имеет смысл только при R~>Ai. Определение ставки процентов
Для того чтобы найти ставку і, необходимо решить одно из нелинейных уравнений (опять предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте ностнумерандо) следующего вида:
. „(1+ 0" - і , „1-0 +і)"" S = R--- или A = R—--—,
которые эквивалентны двум другим;
с 5 (І + ІУ -1 A I-(! + і) *
K;i = ^ =-:----Л™ «,., = ^-:-• 05.92)
В этих уравнениях единственным неизвестным является процентная ставка і. Решение нелинейных уравнений может быть найдено лишь приближенно. Известно несколько методов решения таких уравнений: метод линейной интерполяции, метол Ньютона - Рафсона и др. Рассмотрим метод линейной интерполяции.
Найдем с помощью прнкпдочиых расчетов нижнюю (J11) и верхнюю О',,) оценки ставки. Это осуществляется путем подстановки в одну из формул (15.92) различных числовых значений і и сравнения результата с левой частью выражения. Далее корректировка нижнего значення ставки производится по следующей интерполяционной формуле, полученной из общего курса математики:
в которой SH и „V11 — значения коэффициента наращения (или коэффициента приведения) ренты для процентных ставок I11 и Jn соответственно. Полученное значение ставки проверяют, подставляя его и левую часть исходного уравнения и сравнивая результат с левой частью. Если достигнутая точность недостаточна, повторно применяют формулу (15.93), заменив в ней значение одной из приближенных опенок ставки на более точное, найденное на предыдущей итерации, н соответствующее ей значение множителя иараіцення (или приведения).
15.5. Некоторые приложения финансовой математики 347
Пример 22.
Для проведемня замены оборудовании предприятию необходимо за 10 лет накопить 2 млн ден. ед. Ежегодно она может вносить и банк для Этой" пели 100 ООО ден. сл. на специальный счет. Под какую ставку сложных процентов необходимо вкладывать яти деньги, чтобы накопить требуемую сумму в указанный срок?
Решение.
Согласно формуле (15.92),
S11 , = I (I + /)" - ] ]/i = s/R = 2 ООО ООО/100 000 = 20.
Определим s„., для нескольких произвольных значений процентных ставок. Так для і = 0,1 \
V п.м = 1(1 +0"-Ч/»= 1(1 +0,14)'"- l|/0.14=19.2fi.
Для 1 = 0,15
5,0. MS = Id +j)"- 1 |/i=[0 +0.15)1"- 1)/0,15 = 20.33.
Действительное значение процентной ставки лежит в интервале 0,14<*<0.15, так как 19.26 < 20 <20.33.
Воспользуемся формулой (15.93) и найдем действительное значение п]юцснгной ставки:
i-0,M+(20 19.26) (0,15- 0,14)/(20,33 19,26) = 0,1469.
Проверим правильность нахождения действительной процентной
ставки:
|(1 + iy - l]/i = l(1 + 0.1469)1"-11/0,1469 = 20. Таким образом, процентная ставка должна составлять I= 14,69 %.
15.5. Некоторые приложения финансовой математики 15.5.1. Конверсия валюты и начисление процентов
Рассмотрим совмещение конверсии (обмена) валюты и наращения MjJOCTbIX процентов, сравним результаты от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты пли после іфедварл-тельного обмена на другую валюту. При этом возможны 4 варіїанта наращения процентов:
1. Без конверсии, когда валютные средства размещаются в качестве валютного депозита, наращение первоначальной суммы п роняю-
348 Глава 15. Элементы финансовой математики
яи гем гіп нал юти ой ставке путем прямого применения формулы простых процентов.
2. С конверсией, при лом валютные средства конвертируются е рубли, наращение идет по рублевой ставке, и конце операции рублевая сумма конвертируется обратно в немодную валюту.
Н. Без конверсии, в этом случае рублевая сумма размещается в виде рублевого депозита, на который начисляются проценты по рублевой ставке їв) формуле простых процентов.
