Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
15.4.2. Формулы наращенной суммы Обычная годовая рента
Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в год по ставке і. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(I + так как на сумму R проценты начислялись в течение (и - 1) года. Второй взнос увеличится до R (1 + і)""3 и т. д. На последний взнос проценты не начисляются.
Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической профессии
в которой первый член равен R, знаменатель — (1 + і), число членов — п. Эта сумма равна
S = A + *(l+t) + A(l + 02+ ... +Д(1+і)'
S = R
(1 + І)'-1_Д(1 + ІГ-1 (1 + 0-1 " І
RS.
(15.76)
где
(1 + І)" - 1
(15.77)
342 Глава 15. Элементы финансовой математики
называется коэффициентом наращения ренты. Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки і,
Пример 21.
В течение 3 лет на специальный расчетный счет АО в коммерческом банке в конце каждого года поступает по 10 млн ден. ед., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10 %. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение.
Используя формулы (15.76), (15.77), получаем: . 1ft (1 +ОД)3 -1
5 = 10----=331 млн ден. ед.
0,1
Годовая рента с начислением процентов т раз в году Предположим, что платежи делают одни раз в конце года, а проценты начисляют т раз а году. Это означает, что каждый раз применяется ставка j/m, где j — номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид
R(.\+j/m)ml"l\ R(\+j/m)ml"-3\ R.
Пели прочитать предыдущую строку справа налево, то видно, что это геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем - (t +}/т)"', число членов — п. Сумма членов этой прогрессии будет наращенной суммой ренты. Она равна
ДаД<1+;/«г-1 578
Рента р-срочная, т - 1
Найдем нарашенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.
Если R — годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/p. Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока JiJ)OUeHTaMH также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке:
-(1 + 0м'у, -(l + 0"~v'. -(1 + 0""3"..... -.
PPP P
15.4. Потоки платежей 343
у которой первый член R/p, знаменатель — (1 + i)>/p, общее число членов — пр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии:
JJM^ = *_JU±i>l-J_ в ю», (15.79) р (! + О*'-! + О""-IJ
где
Ct+О'-1 p[(i + Ov'-i]
(15.80)
коэффициент наращения р-срочнои ренты при т = 1. Рента р-срочная, р = m
В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом, число платежейр в году и число начислений процентов т совпадают, т. е. р = т. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы воспользуемся аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой
і
Различие будет л нить в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом, получаем:
т JJm j
Рента р-срочная, р>1, т>1
Это общий случай /)¦ срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем возможно р*т.
Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на нега процентами
-(1+ jfm)m,,"-vp> =-(1 + j/m)"-"'. P P
Второй член ренты к концу срока возрастет до
-(1+ j/m)*("-Vt,i =-(1 + ^m)"-"""' р р
344 Глава 15. Элементы финансовой математики
и т. д. Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель — (1 +j/m)'"''1', число членов — пр. В результате получаем наращенную сумму:
s ^ R «^jm^ = R_q + j/mr-i_ (15ій) P P(I + j/m)"1" -1 p[W j!m)n!" -1
15.4.3. Формулы современной величины Обычная годовая рента
Пусть член годовой ренты равен R, процентная ставка і, проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты п. Тогда дисконтированная величина первого платежа
ЯД I +O = Ai1 где г.' = —^— — дисконтный множитель.
1 + 1
Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rt? и т. д. Таким образом, приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: Rv, Rv1. Rv*, Rv", сумма которой
A=RV^—= д1-(1 + 0_=До (15.83)
V-1 і
где
, 1-(1+ "Г
(15.84) і
— коэффициент приведения ренты.
Коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: срока ренты п и процентной ставки і. Поэтому его значения представлены в табличном виде.
Рента р-срочная, р>1, т>1
Аналогично можно получить формулу для расчета современной величины ренты в общем случае для произвольных значении р и т:
15.4, Потоки платежей 345
15.4.4. Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты
Пусть А - современная величина годовой ренты погтнумерандо. а 5 ее наравіенная стоимость к концу срока п, р = 1, т = 1.
