Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
asg.+l—p\g.-Hsgs-i = 0, (2.3)
где величины а„ р„ являются полиномами от р, Ь, к. Из соотношений (2.3) определяются как коэффициенты разложения gs, так и собственные значения к.
В матричном виде система рекуррентных соотношений (2.3) приобретает вид
- Ро ао Yi —Pi О ъ
Ag
о о
ах О
Рз а2
gl
gl
= 0.
(2.4)
Собственные значения краевых задач (1.14), (1.28) находятся из условия разрешимости этой системы:
det A=F(p, Ь, к)=0. (2.5)
Особое преимущество тридиагональных матриц состоит в том, что их детерминант пропорционален бесконечной цепной дроби (§ 3 гл. I), которая для матрицы А принимает вид
f(pAb) = p0-g!igIi ... (2.6)
Это обстоятельство значительно облегчает создание алгоритмов вычисления на ЭВМ собственных значений
Xml(p,b) и "kmk{p, #) и соответствующих им собственных функций Етч(р, Ь; т]) и Итк(р, а\ \).
Достаточным условием сходимости цепной дроби (2.6) является вылолнение неравенства (3.5) гл. I при достаточно больших s
as-lVs
Ps-.Ps
(2-7)
Сходимость рядов (2.2) определяется поведением отношения g,+i/gs при s->-oo. Из соотношений (2.3) в предположении, что limgs+\lgs существует, следует
?s+i
g s
, 2a„
1
1
P2
1/2
(2.8)
153
В зависимости от выбора базисных функций u,(z) необходимо различать два случая.
Для степенных рядов, когда us(z)=z", радиус сходимости G равен
G= lim
Ss+l
(2.9)
О при s —>- оо ряд
В частном случае, когда gs+ilg, (2.2) сходится при всех г.
Если в качестве базиса u,(z) взята система ортогональных полиномов, то достаточным условием сходимости ряда (2.2), рассматриваемого как ряд Фурье, является выполнение неравенства (Смирнов, 1974)
S-»oo s
(2.10)
2. Разложение у. к. с. ф. в ряды. При разложении у. к. с. ф. в ряды в качестве базисной системы функций иа(г\) наиболее естественно выбрать присоединенные полиномы Лежандра Р%+т (т]), которые образуют полную систему на отрезке т|е[ — 1, 1] и в которые у.к.с.ф. переходят в пределе р = Ь=0. Однако подстановка разложения
sm,(p,M)= 2 csPT+m(r\)
s=0
(2.11)
в уравнение (1.14а) для у.к. с.ф. р-типа приводит к пя-тичленным рекуррентным соотношениям
¦ (s + 2m + l)(s + 2m + 2) н (2s + 2т + 3) (2s + 2т + 5) 5+2 ~Г
. , s + 2т + 1 + &2s + 2m+3 Cs+' +
я-
р2 Г s (s + 2т) '2s + 2m+ 1 (2s + 2m— 1)
(s + m) (s + m + 1)-P2 +
cs +
(s+ l)(s + 2m+ I)' (2s + 2от + 3)
s(s-l) _
¦ Cs__2 = 0.
'(2s + 2m— 1) 5-1 1 H (2s + 2m —3)(2s + 2m —1)
(2.12)
Этими соотношениями иногда пользуются (Hunter и др., 1966), однако они не столь удобны, как трехчленные, поскольку детерминант пятидиагональной матрицы, им соответствующей, нельзя представить в виде цепной дроби.
154
В случае 6 = 0 из (2.12) следуют трехчленные рекуррентные соотношения отдельно для четных (с_2=0, с0=1) и нечетных (c_i=0, С] = 1) решений уравнения (1.14); соответствующие разложения подробно изучены в § 3 гл. I.
В общем случае ЬфО разложения для функций Sm,(p, Ъ; г)), учитывающие их поведение в особых точках ч = ±1 и ч = оо, были предложены Baber, Hasse (1935)
S«, (р> b; ч) = «-*1+4> 2 osP?+m (Л). (2-13)
s=0
Sm, (p, Ь; л) = е-"»-* 2 ^m (л)• (2.13')
s=0
Они приводят к трехчленным рекуррентным соотношениям
p.c.+i—x8c,-f-fisc,_i=0, c_i=0, (2.14)
в которых для случая разложения (2.13)
(5+2/П+ —2р (8+/Я+ 1)]
Ps ~ 2(s+m) + 3
xs = (s + m)(s + m +1)-Я, (2.15)
„ _ s [6 + 2р (s + т)] s 2(s + m)-l *
Для оценок сходимости разложений (2.13) полностью применимы формулы (2.7) — (2.10), если в них произведены замены
as—vp„ pY—Их,, —>-S„ g,—"Соотношение последовательных коэффициентов разложения в (2.13) стремится к пределу
f?±i^?_^0, (2.16)
cs S s->oo
откуда следует, что при каждом фиксированном р ряды (2.13) сходятся не только на отрезке [—1, 1], но и на всей комплексной плоскости т]. Для разложений (2.13) выполняется соотношение
.(f)". <2-17>
—V
т.е. при значениях р>1 условие (2.7) начинает выпол-
пяться только при s>2p. .Эту оценку следует иметь в виду при выборе минимального числа членов в цепной дроби (2.6), достаточного для вычисления X с необходимой точностью.
Рекуррентные соотношения для коэффициентов cs разложения (2.13') отличаются от соотношений (2.14) заменой р—»—р в формулах (2.15). Такая замена очевидным образом не изменит вида цепной дроби
F™(p,b,X) = K0- (2-18)
поскольку величины х8 и произведения p,6,+i не зависят от знака р. Отсюда следует, что в обоих случаях (2.13) и (2.13') собственные значения X находятся из одного и того же уравнения
F™{p,b, Х)=0. (2.19)
При практической реализации изложенного алгоритма бесконечная цепная дробь (2.18) заменяется конечной F(р, b, X) с достаточно большим числом членов N и собственные значения вычисляются как корни полинома QN+i(p, Ь, X) степени N-\-1:
F<$U (Р, Ь, X) = QN+l (р, b, X)/PN+l (р, Ь, X). (2.20)
Такое представление позволяет исключать из уравнения
(2.19) сингулярности, связанные с нулями полинома PN+i(p, b, X) (см. § 3 гл.1). Из определений (2.18) и
(2.20) следуют рекуррентные соотношения для полиномов Qk(p, b, X)
Qk+i = QkKx-k-Qk-iPx-?x-H+u Q-i=0, Qo=l. (2.21)
