Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
s=0
Число нулей p. к. с. ф. k не превосходит степени полинома
k^n-l. (2.81)
Индекс к принимает п значений и при данных п, т однозначно нумерует п полиномов gm"ft'(i).
167
Если
n>m+l, (2.82)
то уравнение (2.75) имеет два корня г и t
r=n—m—\^t=n—\. (2.83)
Согласно (2.63), (2.64) п различных р. к. с. ф., собственные значения которых являются корнями определителей матриц Ат и At, сводятся к полиномам. Возвращаясь от переменной Яффе х= (?—1)/(?+1) к переменной | в разложении (2.33), удобно выделять разными Способами полиномы по |, отвечающие (2.63), (2.64) соответственно; получаем
nmft (р, 2рп; 1) = (I* - \)"l4-P^Wn-km-~l(?),
—га-1, (2.84)
П„„ (р, 2рп; I) = (f^1)"72 e-wE-O^^1 (I),
я — m< /г<я - 1, (2.85) где ^mT"'-!(^)—полином степени п—т—1
$-'Ит-1 (?) =" I ' gs (I - 1)-Ч5 + I)"""'"5-1, (2.86)
s=0
а.?тТ'(?) определяется формулой (2.80).
Полиномы S^T'"-1^) и $тк1{1) при k^n—m—l связаны соотношениями
^m-1(l) = (g+l)-m^SS"1(g), fe<n-m-l, (2.87)
вытекающими из определений (2.80), (2.86) с учетом (2.63), (2.64). При т=0 полиномы Pok~l(t) и ^шГ'Ш совпадают.
Индекс k при данных пит однозначно нумерует
полиномы Л(Ъ,9П1*(Ъ)-
При выполнении неравенств (2.81), (2.77) заведомо выполнено условие п—m^lk^n—1, содержащееся в (2.85). Поэтому формулы (2.84), (2.85) охватывают все случаи сведения р. к. с.ф. к полиномам для разложения Яффе (2.33) при обращении в нуль коэффициентов fs.
Р. к. с.ф. Umk(p, 2рп; ?), определяемые формулами (2.85), (2.80), при аналитическом продолжении по аргументу на отрезок [ — 1, 1] дают решения углового урав-
168
нения с параметром Ь = —2рп, расходящиеся в точке ?= —1. Р. к. с.ф. Umk{p, 2рп; ?), определяемые формулами (2.84), (2.86), при аналитическом продолжении по аргументу на отрезок [—1, 1] дают решения углового уравнения (1.14) с параметром Ь=—2рп, регулярные в точках | = ±1. Следовательно, с точностью до нормировки Umk(p, 2рп; ?) совпадают с у. к. с.ф.
Птк(р, 2рп; |) =CEmq(p,-2pn; ц) (2.88)
(C=const), l = r]e[ —1, оо), k^n—m—l, q^.n—m—1,
причем
(Р, 2рп) = Л™ (р, -2рп). (2.89)
С точностью до нормировки совпадают также полиномы ^"т?"*-1 {%), @"m~q~m~~l (ч), определенные формулами (2.70), (2.86)
&-nmk-m-\t) = ' С^т~1(ц) (С = const). (2.90) ?-че[—1,°°)
Поскольку при изменении индексов k, q при данных пит перебираются все полиномы дг*-т-\ как для у. к. с. ф, так и для р. к. с. ф, индексы k и q в равенствах (2.88), (2.89), (2.90) связаны соотношением
q+k=n—m—\. (2.91)
Все нули полиномов ?ГтТ'п~' (I), ^1щт~\ц) находятся, таким образом, на полуоси [—1, оо), причем k нулей принадлежат радиальной функции, a q=n—k—т—1 нулей — угловой.
Из равенства (2.88) следует свойство двойной ортогональности у. к. с. ф. и р. к. с. ф при а=—Ь=2рп,
Таблица Па
Примеры полиномов #"^m~"1(1l)
п Я b™0»,2/m)
т + 1 0 m(m+l) С»
m + 2 0 (m+1)2 — [ (/n+1) 2+4/?2] "2 Г Гп 2Р 1
m + 2 1 (m+l)2+[(/n+l)2+4/>2]1/2 С1Р" m(m+l)-A,J
169
Таблица 116
п k
1 0 —2pm с;
2 2 0 1 (—2pm+1) + (V+4pm+1)1/2 (—2pm+1)—(4p2+4pm+ 1) "2 Ll[e 1+ 2+2p(m—l)+b]
q-\-k-\-m-\-\ = n, аналогичное двойной ортогональности сфероидальных функций § 2 гл. I.
Представление у. к. с. ф. и р. к. с. ф. полиномами дрп-т-\ возникает при рассмотрении водородоподобного атома в вытянутых сфероидальных координатах (п. 2 § 8). В задаче двух кулоновских центров при специальных значениях Z\, Z2, R может реализоваться представление у. к. с. ф. и р. к. с. ф. через полиномы ^п~т~1
и 9 mi1 (п. 3 § 8).
В табл. Па и 116 приведены простейшие примеры полиномов ^"mV""-1 (ч), .?mfc"'(?) и соответствующих им собственных значений Х^^р, 2рп), К%(р,2рп); С0, Cv Cq,Ci—константы, которые определяются из условий нормировки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К §§ 1, 2
Частные случаи уравнений (1.14), (1.28), (1.36) известны давно, однако сколько-нибудь подробное их исследование началось только после создания квантовой механики, в связи с задачей двух центров. Одной из первых была работа Wilson (1928а, Ь), который ввел различные типы разложений для Птй(р, а; %) и 3mq(p, b; г\), однако неправильно полагал, что они всегда сводятся к полиномам. Подробнее эти разложения и, в частности, разложения (2.16) и (2.25) были исследованы Baber, Hasse (1935), которые доказали их сходимость. Teller (1930), McGrea, Newing (1933) обратили внимание на ошибку Wilson. Hylleraas (1931) использовал разложение (2.42), однако Jaffe (1934) выразил сомнение в его сходимости и предложил новое разложение (2.36). Hylleraas (1931, 1935), Svartholm (1936) показали эквивалентность разложений (2.36) и (2.42), но Chakravarty (1939) по-прежнему критиковал разложение Hylleraas. Helfrich, Hartmann (1965), повторив в общих чертах раннюю работу Svartholm (1936), также пришли к выводу об эквивалентности разложений (2.36) и (2.42). Среди разложений, не нашедших отражения в
170
Примеры полиномов З1^1 (?)
тексте и практических расчетах, следует упомянуть разложения, предложенные в работах Fischer (1937) и Svartholm (1938).
Полиномиальные р!ешения для водородоподобного атома рассмотрели Coulson, Robinson (1958). Демков (1968) проанализировал полиномиальные решения в задаче ZieZ2 (см. п. 3 § 8).
