Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Комаров И.В. -> "Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции" -> 41

Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.

Комаров И.В. , Пономарев Л.И., Славянов С.Ю Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции — М.: «Наука», 1976. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): komarov_sferoidal_fnktsii1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 88 >> Следующая

Коэффициенты p3, x, и 6S отличаются от выражений (2.15) множителем (l -j- х2)- 1/2, который не изменяет рекуррентных соотношений (2.14), однако позволяет избежать в промежуточных вычислениях накопления больших чисел (см. § 3 гл. I). (Из выражений (2.15) для х„ следует, что старшие коэффициенты полиномов Qk растут как k*h, если не осуществить указанную перенормировку коэффициентов ps, xs и б8.)
Для того чтобы из множества корней полинома
QN+i(p, b, X) выделить собственное значение Х—Х„1(р'Ь), которое соответствует собственной функции Emq(p, b,r\), необходимо задать его начальное приближение, напри-
156
мер, в точке р=Ь=>0, где, согласно (1.25), Я™(0,0) = ='(Я+т) (q+m+l). Изменяя последовательно значения р и Ь при фиксированных т и q, из уравнения (2.19) можно найти значения к™ (р, Ь) для заданных р и Ь. Такие алгоритмы в настоящее время подробно разработаны.
При р>1, когда у. к. с. ф. сосредоточены в окрестности точек т) = ±1, разложения (2.13) сходятся медленно и вместо них используют другие:
со
Sm? (р, Ь; ту) = (1 - л2)"1'2 e-Pd+n) 2 cs (1 +.г\)*, (2.22)
s=0 оо
Зт,(р,6;л) = (1 - ^)тп е~р(\-ч) 2^(1—л)*- (2-22')
s=0
Очевидно, что разложение (2.22) сходится быстрее на отрезке [—1,0], а разложение (2.22')—на отрезке [0,1]. Для коэффициентов с» разложения (2.22) справедливы трехчленные соотношения (2.14), в которых
ps=2(s+l)(s+m+l),
xs = s(s+l) + (2s+m+l) (2p+m)+b—I, (2.23) &,=b-\-Qpl(s+m).
Ряды (2.22) и (2.22') сходятся при всех л. а соответствующие им цепные дроби (2.6)—при всех р, поскольку
i?. (2.24)
CJ±1 ~ ??
Ps- 6s

Для коэффициентов cs справедливы те же соотношения с заменой b—— b в выражениях (2.23).
На практике используют комбинацию разложений (2.13) и (2.22): из разложения (2.13) находят собственные значения, а собственные функции вычисляют по формулам (2.22). Разумеется, оба решения (2.22) и (2.22') должны быть «сшиты», например, в точке л=0> поскольку общая нормировка коэффициентов с, и cs рекуррентными соотношениями (2.14) не определяется.
Условие сшивания, определяющее нормировку коэффициентов cs и cs, принимает при этом вид
Scs = 2 c's.
s^b s=0
157
Для получения асимптотики у. к. с. ф. и соответствующих им собственных значений иногда используют разложение по полиномам Лагерра
*UP, Ь\ лНа-л»)""^-"^* 2 csL?+m (2р (1 + л)), (2.25)
s=0
Подставляя это разложение в уравнение (1.14а), используя уравнение для полиномов Лагерра (Градштейн, Рыжик, 1971, стр. 1051)
х §2Lm (х) + (1 - х + т) ± Lm (х) + nLm (х) = 0 (2.26а)
и рекуррентные соотношения, которым они удовлетворяют,
*2SL™ W = nL" W ~(п + т) Ln (*). xLm (х) = - (я;+ 1) L?+1 (*) + (2.266)
-f (2я + m + I) (х) _ (я + m) С_, (.г),
придем к рекуррентным соотношениям (2.14) для коэффициентов cs. В случае верхнего знака в (2.25) следует положить
Ps = -(s + m-f l)^s + l + lj,
xs = - (2s + m + 1) [s + m + 1 + ~ 2pj +
+ (s -f m) (m + 1) + 6 - 1, (2.27)
6s = -s(s-f m+^j.
Для численных расчетов ряды (2.25) не используются.
Разложения (2.25) при рЗ>1 являются асимптотическими, на что неоднократно указывали ряд авторов (Blanch, 1964, Power, 1973).
Все предыдущие формулы, справедливые для у. к. с. ф. р-типа Sm,(p, b; г\), практически без изменений пригодны и для у.к.с.ф. с-типа Bm?(c, b; т)). Различие состоит
158
в том, что после формальной замены р=/с почти все предыдущие разложения становятся комплексными и для нахождения действительных решений уравнения (1.146) из соответствующих рядов необходимо выделить действительную часть. Иногда даже в этом нет необходимости. Например, для разложения, аналогичного (2.13)
со
*т (с, Ь; л) = eW±i> 2 cj>%m (л), (2-13")
s=0
коэффициенты cs,ps=pe(ic, b, X) и 8,=8,(ic, b, X) в соотношениях (2.14) и (2.15) являются комплексными, однако произведение р,6,+ь от которого зависит цепная дробь (2.18),— действительная величина. Таким образом, собственные значения X(?>q (с, Ь) задачи Штурма— Лиувилля для у. к. с. ф. с-типа по-прежнему определяются из действительного трансцендентного уравнения (2.19) с действительными коэффициентами после подстановки р2->—с2.
Отметим также, что сходимость рядов (2.13") для у. к. с. ф. с-типа значительно хуже, чем для у. к. с. ф. /э-типа. Как показывает опыт численных расчетов, в этом случае коэффициенты разложения c"s знакопере-менны и при с>1 быстро растут по абсолютной величине. Как известно, суммирование такого ряда приводит к большим вычислительным погрешностям. Поэтому вместо суммирования рядов (2.13), (2.22), (2.25) после замены р—у 1с предпочтительнее вычислить собственные значения Хт](с,Ь) из уравнения FM(ic, b, X) и затем найти функцию Emq(c, b, л) непосредственным интегрированием уравнения (1.146), решая для него задачу Коши с найденным Х^] (с, Ь) и начальными условиями для функции и ее производной вблизи особых точек т1 = ± 1. Эти начальные условия легко найти из разложений (2.22) и (2.22').
3. Разложение р. к. с. ф. в ряды. Уравнение (1.28) для р. к. с. ф. р-типа после выделения особенностей в точках |=1 и | = со
Umk(P, a; i) = (i2-l)m/2e-^-i>/d) (2.28) приводит к уравнению для функции f(|) (I2-1) f" (1) + [-2р (I2-1) +2 (m+1) 1] f' (1) +
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed