Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Комаров И.В. -> "Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции" -> 46

Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.

Комаров И.В. , Пономарев Л.И., Славянов С.Ю Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции — М.: «Наука», 1976. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): komarov_sferoidal_fnktsii1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 88 >> Следующая

Для волновых функций Ф j(r; R), соответствующих термам Ej(R), в дальнейшем будем использовать сокращенные обозначения:
Oj(г, R) = Nj(R) Птк(g; R) Emq(r,; R) ^=-, (3.14)
где
Пт*(1; R)=nmh(pkqm(a, b), a; I), Smq(r\; R) =Emq(pkqm(a, b), b; r\),
(3.15)
Nj(R)=Nhqm(phqm(a, b), a, b), a=R(Z2+Zl), b = R(Z2-Zl).
Числа нулей k, q, m радиальной, угловой и азимутальной частей решения Фj (г; R) называют угловым, радиальным и азимутальным квантовыми числами соответственно. Обычно для классификации решений вместо чисел k, q, m вводят их линейные комбинации:
Главное квантовое число
N=k+-q+-m+l, (3.16а) которое пробегает ряд значений
N=\, 2, 3, (3.166) орбитальное квантовое число
l=q-\-m, (3.17а)
которое изменяется в пределах O^/^Af—1 и обозна-
174
чается строчными латинскими буквами, причем ряду чисел
/=0, 1, 2, 3, 4, 5, ... (3.176) соответствует ряд букв
l=s, р, d, f, g, h, ...; (3.17в)
азимутальное квантовое число m меняется в пределах обозначается греческими буквами а, я, б, ..., которые соответствуют ряду /и=0, 1, 2, ...
Таким образом, символ lso соответствует набору сферических квантовых чисел /= (Nlm) со значениями N=1, /=0, т = 0; терм 3dn — набору N=3, 1=2, т=\ и т. д.
Приведенная классификация решений сохраняет смысл при всех значениях R, при которых уравнение (3.36) имеет решение. Это утверждение является непосредственным следствием теоремы о сохранении числа нулей k и q решений краевых задач (1.28) и (1.14) при непрерывном изменении параметра R.
Набор квантовых чисел j=\Nlm) наиболее естествен в пределе R-*-0, когда задача ZteZ2 переходит в задачу о водородоподобном атоме с зарядом Z^-\-Z2. В другом пределе R-^-oo электрон остается у одного из ядер Z\ или Z2, и задача ZieZ2 распадается на две одно-центровые задачи. В этом случае термы Ej(R) удобнее классифицировать по параболическим квантовым числам состояний атомов eZv и eZ2 соответственно: /= [пп^т] и /'= [п''п\п2т\ соответственно. Связь наборов параболических квантовых чисел с набором сферических чисел j=-(Nlm) будет установлена ниже *).
В симметричном случае Zt = Z2 возникает дополнительная классификация решений по квантовому числу
w=(-y, (3.18)
которое является собственным значением оператора до отражения координат электрона в плоскости z=0, что эквивалентно изменению знака ц в угловом уравнении
доЗтз(ч; R)=Em(-r\; R)=wEmq(r\; R). (3.19)
'*) В дальнейшем будем использовать разные виды скобок: символ j={kqm) сохраним для обозначения набора сфероидальных квантовых чисел, а символы ]=(Nlm) и \=\пп\П2т\ —для обозначения наборов сферических и параболических квантовых чисел соответственно.
175
Решения 3mq(y\; R) делятся на симметричные (ш = 1) и антисимметричные (w=—1) в зависимости от четности числа q. Операция w соответствует перестановке зарядов Zi и Z2 (рис. 15).
Трехмерные решения Фу (f; R), кроме того, допускают классификацию по собственным значениям / оператора инверсии / координат электрона
?Фу(г; #)=ф(—г; 7?)=/ф(г; R).
(3.20)
Рис. 15. Операции симметрии системы Z\eZ% при Zi=22.
Инверсия г-*—г эквивалентна заменам г\-*—т), ф-> -*-ф+я. С учетом формул (3.18), (3.19) и определения (3.4) отсюда следует хорошо известное соотношение
I=we,m*=(—)1. (3.21) В зависимости от четности числа / все решения задачи ZveZ2 при Zi—Z2 разделяются на два класса: решения, для которых /=1, называются четными Фуй(г; R), те же, для .которых /=—1— нечетными Ф ju(r; R). Очевидно, четность решений целиком определяется четностью числа /. Четность состояния указывается рядом с символом терма, например: 1 sag, 2раи, 3dng, 4/8„ и т. д.
Отражение в любой плоскости, проходящей через ось 2, эквивалентно замене ср->—ф, что равносильно изменению знака m в азимутальной части решения (3.4). Поскольку термы E{hqm)(R) не зависят от знака т, то возникает вырождение: каждому терму Ej(R) отвечают две волновые функции (3.4), различающиеся только знаком m (так называемое Л-удвоение.)
3. Правила соответствия термов при /?->0 и /?->оо. Из физических соображений ясно, что, в пределе объединенного атома, т. е. при R-*-0, термы Ej(R) непрерывно переходят в уровни энергии водородоподобного атома с зарядом Z\+-Z2 и набором квантовых чисел j=(Nlm), т. е. должно выполняться соотношение
ЕШм (Zlt Z2,0) = —i- (^JT3)*- <3'22)
176
Радиальная Нтк(?,\ R) и угловая Era,(ii; R) части решений задачи ZieZ2 в этом пределе переходят в радиальную Rni(p) и угловую Yf (0, ф) части решений одноцентровой задачи с зарядом ZH-Z2 в сферических координатах
0j (г, 0) =NMn (0) Iimk (Б; 0) Emq (ту 0) =
= Rm(p)Y?(Q,4>), (3.23)
где переменные обеих координатных систем при R-+-0 связаны предельными соотношениями (см. введение)
Rll2-+p, t)->cos0. (3.24)
В пределе R^-oo все термы системы Z^eZ2 распадаются на два класса: eZi-термы, которые при R-*-oo переходят в уровни электрона в поле изолированного заряда Z\ (соответствующие им волновые функции сосредоточены в окрестности ц~ — 1), и &22-термы, отвечающие уровням атома eZ2 (их волновые функции сосредоточены вблизи т)«1). При R -> оо сфероидальные координаты переходят в параболические, а функции П,„к(1; R) и Emq(r\; R) — в решения одноцентровой задачи в параболических координатах (см. § 8).
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed