Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
+ [-Я+т(т+1)+2ра1]/Ш=0, (2.29)
159
где введено обозначение Если разложение
о = ?-р-(т+\). (2.30)
f(l)= 2 (2-31)
s=0
приводит к трехчленным рекуррентным соотношениям (2.3) для коэффициентов gs=gs(p, а, I), то собственные значения Х(т\(р, а) находятся из условия равенства нулю соответствующей цепной дроби (2.6):
F™(p, а, Х)=0. (2.32)
Практически единственное разложение р. к. с. ф., которое используют в настоящее время при численных расчетах, предложено Jaffe (1934). Ряд (2.3i) в этом случае принимает вид
f(E) = (E+l)eS&x*. (2.33)
s=0
где
*=(S-1)/(S+1). (2-34)
Подстановка (2.33) в уравнение (2.29) дает
[*(1-*2)^-
_[(2о- + т- \)x* + 2(2p-o + \)x-(m+\)]fx +
+ m (т + 1) - Я] 2 gsx> = 0, (2.35)
> s=0
откуда следуют рекуррентные соотношения (2.3) со зна^ чениями коэффициентов
as=(s+l)(s+m+\),
p8=2s2+ (2s+m+\) (2р-а) -a-m (m+1) +Л=
= 2s(s+2p—a) — (m+a) {m+\)—2pa+X, (2.36) f8= (s—1—a) (s—m— 1— a). Для разложений Яффе
as-lVs
Ps-A
160
т. е. цепная дробь (2.6) сходится при всех /?>0. Отношение коэффициентов _
l-2]/f + 0U) (2.38)
свидетельствует о том, что разложение Яффе сходится во всей области определения 1 ;?!!<;°о.
Функцию /(§) можно разлагать по присоединенным полиномам Лагерра
f(l)
га
¦¦2ig.L?+n(x), х = 2р(1-\).
s=0
(2.39)
В этом случае придем к трехчленным рекуррентным соотношениям (2.3) с коэффициентами
as = — (s + m+ 1)
= (s + m + 1) (s—m — a),
p,= -(2s + m+l)
2p
-(s + m+ 1)
+
(2.40)
+ 2p (2s + m + 1) — (s -f m) (m + 1) — a + 1,
— s
2p
— (s + m)
s (s — 1 — a).
С точки зрения вычисления собственных значений разложения (2.33) и (2.39) эквивалентны, поскольку цепная дробь (2.6) зависит только от р\ и произведений a.if.+i. Сравнивая выражения (2.36) и (2.40), легко видеть, что для обоих разложений значения ps и произведения asis+i совпадают между собой. Это влечет за собой идентичность цепных дробей, им соответствующих.
Однако в практических вычислениях разложение Яффе предпочтительнее, как вследствие простоты базисных функций, так и ввиду большей устойчивости рекуррентного процесса при вычислении коэффициентов разложения собственных функций на ЭВМ. Разложение (2.39) удобнее для нахождения асимптотики функций llmhip, a; 1) и соответствующих им собственных значений при р^> 1.
В некоторых частных случаях, например при описании атома водорода в сфероидальных координатах, используют разложение f(|) по степеням (?— I)3:
s=0
(2.41)
11 И. В. Комаров и др.
161
которое приводит к рекуррентным соотношениям (2.3) с коэффициентами
as=2(s+l)(s+m+l),
l.=—(s+m) (s+m+l)+2p(2s+m+l)—a+b, (2.42) Ч* = а—2р (s+m)=2p (о—s+1).
Разложение (2.41) сходится при всех ?е[1, оо), что следует из соотношения
(2.43)
которому удовлетворяют его коэффициенты. В численных расчетах это разложение пока не использовалось. Разложение
по
f(i) = (i+i)°2gs(i+i)-s (2.44)
s=0
также приводит к трехчленным рекуррентным соотношениям (2.3) с коэффициентами
as=2p(s+l),
ps = -(s-m-o) (s-m-l-a)+2p(2s-a)+'k, (2.45) Т< =—2(s— 1— о) (s—т—1— о).
В вычислениях разложение (2.44) не использовалось.
Р. к. с.ф. с-типа Пт(с, а, Я; \) при %¦—»-оо осциллируют, и все приведенные разложения при p = ic неэффективны. В этом случае функции Пт(с, а, Я; §) удобнее находить как решения задачи Коши для дифференциального уравнения (1.36) при выбранном значении Я с начальными условиями для функции и ее производной, заданных вблизи особой точки ?«1, например, разложением (2.41).
4. Полиномы, связанные с у. к.с.ф. и р.к. с.ф. Рассмотрим решение рекуррентной системы уравнений (2.3) при специальных значениях параметров р, b (или р, а), когда один из коэффициентов -|S+I обращается в нуль:
T.+i=0, 5=7-^0. (2.46)
162
Матрица А становится блочной с нулевым блоком под диагональю:
-Ро а„ 0 0 0 0 0 gc
Vi -Pi «i о 0 0 0 gi
Ag = ... уг -Р, а г 0 0 Sr
... 0 -Рг+1 аг+1 0 gr+l
л В
— г г g
0 А
= 0. (2.47)
Здесь Аг — квадратная матрица порядка r-f-1, Вг—бесконечная прямоугольная матрица, у которой отличен от нуля только один матричный элемент {Br}ri = ar, а А — бесконечная квадратная матрица. Определитель матрицы А факторизуется на два сомножителя:
det Л = с1е1Лг с!е1Я (2.48)
(Гантмахер, 1967, стр. 59). Цепная дробь, отвечающая определителю Аг, конечна. Поскольку собственные значения у. к. с.ф. и р. к. с.ф. не вырождены, в нуль может обращаться поочередно один из сомножителей в (2.48): либо
det Лг=0, detZ=^0, (2.49)
либо
det Лг=^=0, det^=0. (2.50)
Выделим у вектора g первые г+1 компонент g= {go, gu . •., gv; gr+i, .-¦) = {gr\ g).
Система уравнений (2.47) эквивалентна двум системам Argr+Brg=0, (2.51)
Ag=0, (2.52)
где Brg — вектор размерности г+1, у которого отлична от нуля лишь (г+1)-я компонента:
B~g= (0, 0, argr+i). (2.53)
В случае (2.49) однородная система алгебраических уравнений (2,52) имеет только нулевое решение g=0,
И*
163
следовательно, gr+i=0. Система (2.51) становится однородной. Из равенства нулю определителя Ат находится г+1 различных собственных значений у. к. с. ф. (или р. к. с. ф.) %и i=0, 1, ..., г. Им соответствует г+1 линейно независимых векторов grl) являющихся ненулевым решением системы Argr = 0. Векторы gin представляются в форме
