Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Функция т, X) убывает по экспоненте в верхней
полуплоскости, функция R~(%; т, X) убывает по экспоненте в нижней полуплоскости. Тогда стандартным образом получаем для G2{%, \'\ т, X)
Особенности функции Грина G2(%, т, X), определяемые нулями функции /?+(|о. т, X), связаны с так называемыми волнами соскальзывания, которые определяют коротковолновую асимптотику функции Грина в зоне геометрической тени Коротковолновая асимптотика на свету получается при вычислении интеграла (7.34) по методу перевала. Асимптотика функций ST(r); т, X) и R*(%; т, X), необходимая для таких вычислений, получена в работе Бабича и Григорьевой (1973).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Разложения функции Грина по сфероидальным функциям были получены в работах Maclaurin (1898) и Morse (1935). Интегральные соотношения для сфероидальных функций в связи с функциями Грина изучал Moglich (1927). Интегральные представления для функций Грина строили Kazarinoff и Ritt (1959), Sleeman (1969а), Бабич и Григорьева (1974).
|(Е2-1)|о2 + [-я, + с2(Е2-1)
G,(U';mfA,)|6=6. = 0.
(7.41)
/?+(?<;тД) /?+(?>;т,А,). (7.42)
ГЛАВА II
кулоновские сфероидальные функции
§ 1. Определение и элементарные свойства
1. Уравнение для кулоновских сфероидальных функций и элементарные свойства его решений. Кулоновские сфероидальные функции возникают как решения задач Штурма—Лиувилля, порождаемых дифференциальным уравнением
?v- Z^Tz + - р2 (1 - *2) + Ьг-j^Lj] и = 0, (1.1а)
где т — целое число, b — произвольный параметр, а величина р изменяется в пределах 0^р<оо.
Производя в уравнении (1.1а) формальную замену p=ic, причем 0^с<.оо, придем к уравнению
ъ^-^% + [х + °гп-г2> +ьг~т^т]"= а (1 лб)
В дальнейшем решения уравнения (1.1а) будем называть решениями р-типа, а решения уравнения (1.16) — решениями с-типа.
Решения уравнений (1.1)—аналитические функции на плоскости z с разрезом, соединяющим особые точки уравнения z=±l, оо.
Показатели регулярных особых точек г = ±1 уравнений (1.1) равны ±т/2 и регулярные решения в окрестности z=±il ведут себя следующим образом:
и (г) ~ {l—z2)m/2. (1.2)
Асимптотика сингулярных решений при г->±1 имеет вид
при ш=0
u{z) ~ln(l-z2), (1.3)
при шфО
и (г) ~ (l-z2)-m/2. (1.4)
141
В иррегулярной особой точке 2=00 решения р-типа имеют асимптотическое поведение
и(г)~е*»ж(2рг)-1*л"2>). (1.5)
Z-УОО
При р=0, ЬфО точка 2=00 остается иррегулярной, причем
«(z)~z~3/4exp {±У—bz). (1.6)
Z >оо
Асимптотика решений с-типа содержит логарифмическую фазу
и (z) ~^^ ехр |+ i(cz — ^ In 2czjj. (1.7)
При b = 0 уравнение (1.16) переходит в уравнение (1.1) гл. I, порождающее различные типы сфероидальных функций, а при с=Ь = 0 — в уравнение для присоединенных полиномов Лежандра.
Заменой u(z) = (1—z2)-1/2?/(z) уравнение (1.1а) приводится к нормальному виду, который удобен при исследовании различного рода асимптотических разложений
U"(z) +
Переход к новой функции и новому аргументу по формулам
u(z) = (l—z2)-1/iv(z), z=cosr> (1.9)
дает уравнение
v" (ft) + [X +1 - рг sin2 0 + b cos в - ^Fy1] * (0) = 0.
(1.10)
На интервале ze[l, 00) замена переменной z=ch^ приводит к уравнению для функции v(t), которое удобно при исследовании зависимости спектра собственных значений % краевой задачи, связанной с уравнением (1.1а), от параметров р и Ь:
x/>if) + [-X-^-p*sWt-bcht-!?^]v(t)=0.
(1.11)
142
Наконец, выделяя особенности в точках z=±l, оо U(z) = (l— z2)m/V=*2/(z), (1.12)
придем к уравнению
(1 - z2) /" (г) - [2 (т + 1) г + 2р (1 - г2)] /' (г) +
+ |\_m(m+l) + 2/w^ + m + l)]/(z)==0, (1.13)
которое используют при решении уравнения (1.1а) в виде бесконечных рядов.
2. Угловые кулоновские сфероидальные функции (у.к.с.ф.). У.к.с.ф. р-типа Hm,(p, Ь; ц) определим как решения задачи Штурма—Лиувилля
+ fC-p2(l-T)2) + &Ti-r^
Em,(P,M) = 0, (1.14а)
|Sm?(p, ft; ± 1)| < оо, -1<т)<1.
Краевая задача (1.14а) имеет дискретный невырожденный бесконечный спектр. Собственные функции Нт,(р, Ь\ т)) при заданных целых т^О и вещественных параметрах р и b образуют полный базис в пространстве Si (—1, 1) функций, квадратично интегрируемых на отрезке [—1, 1]. Функции Hm,(p, Ь; т)) и соответствующие им собственные значения Х^==Я„^ (Р, Ь) при фиксированных т, р и b нумеруются по числу нулей 9=0, 1, 2, ... на интервале ме(—1, 1).
Нормировка у. к. с. ф. в разных задачах определяется по-разному. Функции, нормированные условием 1 _
j Smq-(p, b; 4)Sm(?(p, b; r\) dr\ = , (1.15) —i
будем отмечать чертой сверху. При численных расчетах удобна также нормировка в некоторых точках т), например в точках т) = — 1 или т) = 1:
lim (1 - ti»)-*/»Bm,(p, b; т|) = 1. (1.16)
При b=0 краевая задача (1.14а) совпадает с краевой задачей (1.29) гл. I для сплюснутых угловых сфероидальных функций, так что имеет место предельное
ИЗ
соотношение
Emq(p, 0; r))=Sml(p, л), (1.17)
причем l=q+m.
У. к. с. ф. с-типа Sm,(c, 6; г\) определяются как решения краевой задачи (1.14а) при формальной замене p=ic:
^-(l-^)^Emq(c, 6; Ч) +
+ [^ + с2(1-rf) + br]-1^^Emq(c, b; Л) = 0,
(1.146)
\Emq(c, 6; ±1)|<оо, -Кт)<1.
