Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Функции Emq(c, 6; л), так же как и функции Emq(p, 6; л), образуют полный ортогональный базис на отрезке 1. 1] при фиксированных т, с и Ь. Определения (1.1-5), (1.16), для функций Emq(c, b; л) остаются в силе.
При 6=0 у. к. с. ф. с-типа переходят в вытянутые угловые сфероидальные функции, определенные краевой задачей (1.11) гл. I:
3»,(с, 0; r\)=Sml(c, л). (1.18)
При р=с=6=0 уравнения (1.14а) и (1.146) переходят в уравнение для присоединенных полиномов Лежандра (1.13а) гл. I. Зафиксировав предельное соотношение
Зт? (0, 0; л)
(U9)
определим из него знак у. к. с. ф. при р?=0, сфО, ЬфО.
При одновременной замене 6->—6, г]->—п краевые задачи (1.14) для у. к. с. ф. р-типа и с-типа не меняются Следовательно, при этом преобразовании функции приобретают лишь фазовый множитель, по модулю равный единице, например:
Sm? (р, b;i\) = е^тсМ Emq (р, - 6; - л), (1.20)
где vmq(p, 6) —вещественная фаза.
Соответствующие собственные значения обладают свойством четности
0/>> &) = С(/>. -Ь). (1-21)
144
При Ь = 0 фазы vmq(p, 0) зависят лишь от числа нулей q у. к. с. ф., причем (см. (1.28) гл. 1)
vmq(p, 0)=q. (1.22)
В этом случае равенство (1-20) отражает свойства четности сплюснутых угловых сфероидальных функций по аргументу т). Аналогичные формулы справедливы и для решений с-типа.
Согласно осцилляторной теореме собственные значения возрастают с увеличением числа нулей q функций
Зтз(Р. fc; ч)
С+-,(р, Ь)>С(р, 6). (1.23)
Для производных собственных значений по параметрам р и Ь из уравнения (1.14а) по аналогии с § 1 гл. I получаем выражения
= J 3^(р, b; т)) (1 - Л2) dr] / j Emq (p, Ь; ч) dr] =
= f ЁтЛР. b; Л)(1-Л2)^Л, (L24a)
-|-С (p, 6) = - j S,2n? (p, Ь; я) Л Л|. (1-246) —i
Считая индекс m непрерывным параметром, можно вывести также соотношение
-щ-Ш^ (P. b) = J S^(P, b; г]) (1.24в)
—l
Легко видеть, что собственные значения Kml (р, Ь) являются монотонно растущими функциями р и т, в то время как знак производной дЯт](р, Ь)/дЬ может быть любым.
Аналогичные производные по т и Ь собственных значений (с, Ь) для решений с-типа выражаются по формулам (1.24а), (1.246) после замен Я^(р, Ь)->Я(^(с, Ь) и Sm,(p, Ь; т))->-Етз(с, Ь; т)). Для производной по
Ю И. В. Комаров и др. 145
параметру с вместо (1.24а) справедлива формула ¦TcTclm]^b)-- \ятЛс>Ь; mHI-mVm, <1.24г)
—1
откуда следует, что kmq (с, Ь) — монотонно убывающая функция с.
В пределе р=с=Ь=0
С (0, 0) = (<7 + m) (q + m+l).
(1.25)
При 6 = 0 величины кщ] в случае у. к. с. ф. р-типа совпадают с собственными значениями сплюснутых угловых сфероидальных функций (см. рис. 3, 4, q = l—m)
Ор> 0) = Аы(р),
(1.26)
а в случае у. к. с. ф. с-типа — с собственными значениями вытянутых угловых сфероидальных функций (см. рис. 3 и 4)
С] (с, 0) = Яы(с). (1.27)
В предельном случае р = с=0, ЬфО функции Smi (0, b; г)) не сводятся к хорошо изученным функциям.
г
= 0, д = 0
Рис. 14а. Собственные значения — kmq (0, b) как функции параметра Ъ.
В § 8 построена их асимптотика при b—*¦ оо. Собственные значения kmq(0, b) как функции параметра b представлены на рис. 14а.
Зависимости Я^(р, Ь) общего вида, когда одновременно р=т^0 и ЬФО, приведены в § 3 при изучении
146
10*
спектра собственных значений задачи двух центров квантовой механики. Зависимости Хт1(с, Ь) от параметра с при фиксированных значениях Ь представлены на рис. 146.
3. Радиальные кулоновские сфероидальные функции (р.к.с.ф.). Р.к.с.ф. р-типа Ylmk(p, а; |) определим как решения задачи Штурма—Лиувилля на луче |е[1,оо)
±г{\*-\)^Т\тк{р, а; 1) +
+ [~ Х$ - Р2 (1* ~ 1) + а\ - 1?т] Птк (р, а; I) = О,
(1.28)
|П„л (р, а; 1)1 < оо, Птк(р, а; ?)->0. (1.29)
При р2>0 и фиксированных значениях т и а спектр задачи (1.28), (1.29) дискретный. Собственные значения Кт1(р, а) и собственные функции Итк(р, а; |) нумеруются индексом k=0, 1,2,..., равным числу нулей на интервале |е(1, оо). На этом интервале решения Пть(р, а; |) образуют полный базис и любая квадратично интегрируемая функция может быть по ним разложена.
Нормировку р. к. с. ф. р-типа определим равенством
со
jTW(p, а; Ъ)Птк(р, а; 1)сЦ = Ькк, (1.30) 1
Знак р. к. с.ф. Umh(p, а; |) выберем так, чтобы при |->-1 они всегда были положительными. Р. к. с.ф. можно нормировать также условием в точке |= 1
lim(l2-\)-^Umk(p, а; 1) = 1. (1.31)
Собственные значения "Kml (р, а) радиального уравнения (1.28) при фиксированных т, р, а монотонно возрастают с увеличением номера решения к:
A,(p, а)>1%1(р,а). (1.32)
Из уравнения (1.28) следуют выражения для производных собственных значений Я^(р, а) по параметрам р и а, а также индексу т (в предположении его
148
непрерывности):
1
д
]u2mk(p, a; (1.33а) i
со
^ А$ (р, а) = j (р, а; I) % d\, (1.336) 1
|j- А$ (Р, а) = J Hmfc (Р, а; ?) -f^ry-- 0-ЗЗв)
1
Видно, что Kml (р, о) являются монотонно растущими функциями /пиан убывающими функциями параметра р.
Предельный случай а = 0, р—>-0 рассмотрен в § 7 при исследовании слабосвязанных состояний в поле конечного диполя.
В пределе а—>-0, р—"О при дополнительном условии а/(2р)=и, где и — целое число и р\—*-Zr/tt== const, имеет место соотношение
