Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
4m'Sml(c,T))Rm\(c,t) =
1 2я
= j dt f exp {tc [t)g^ + (l — n2) (|2 — 1) (1 — /2)V2 cos Ф]} x —i b
X Smi (c, t) cos тф dy. (7.26)
Воспользовавшись интегральным представлением функций Бесселя
2я
Jm (сг) = j е'сг 005 ф cos /Пф dtp, (7.27)
преобразуем равенство (7.26) к виду
5«|(с,л)Д$(*, ?) =
т-1 '
= V J е!сФГ"ИО - ^ (Е3 — 1) (1 — П)Щх
—1
xSml(c,/)d/. (7.28)
Равенство (7.28) является основным интегральным соотношением для вытянутых сфероидальных функций,
136
откуда легко могут быть получены уравнение (2.7) и представление (2.10). Действительно, положив т=0 и совершив предельный переход |->1, придем к уравнению
;т—1 с
которое является частным случаем (2.7). В общем случае тфО надо домножить (7.28) на (|2— \)-тП и раскрыть неопределенность в правой части при |-»-1 с учетом известного поведения Jm(z) при z->0
Считая 1—т четным, положим в равенстве (7.28) 11=0, в результате получим представление Rm\ (с, |)
RmUc, ?) =
= 2sl"(c,0) [ J- [С ((1 - ^ (|2 - 1))'/21 S«< (°> ^ (7-3°)
Если /—m нечетно, то (7.28) следует вначале продифференцировать по г) и затем положить т) = 0, что дает
m—l ' 1 '
= Г Г m 1 ^n[c((l-^2)a2-l))1/2]Sm/(C, (7.31) 2Sm/(c, 0) ^,
Наконец, домножив (7.28) на (1—ч2)_т"/2 и перейдя к пределу при г)-М, получим представление (2.10).
Основное интегральное соотношение для сплюснутых сфероидальных функций выводится из (7.21) теми же приемами, что и соотношение (7.28). Окончательно имеем
smt(p, л)=
= l-T-l ei"WJ™ [р{{1~ ^ + !) (! - '2))1/21 X
xSml(p,t)dt. (7.32) Совершив предельный переход т]->-1 и можно
137
получить интегральное уравнение (2.30) и интегральное соотношение (2.34).
Наконец, заметим, что если заменить в правой части (7.28) и (7.82) пределы интегрирования на (l-ft'co, 1) или (— 1+it'oo, —1) и убрать двойку в знаменателе, то в левой части вместо радиальных функций первого рода будут содержаться радиальные функции третьего и четвертого рода соответственно.
4. Интегральные представления функций Грина. Разложения функций Грина различных задач дифракции в ряды Фурье вида (7.10), (7.12), (7.13) по базисным функциям, возникающим при разделении переменных в сфероидальных координатах, удобны для расчетов лишь в тех случаях, когда безразмерный параметр с (либо р) не слишком большой. В задачах коротковолновой дифракции эти ряды сходятся плохо, и приходится переходить к асимптотическим разложениям. Обычно используют два способа получения представления функций Грина, удобных для вычисления коротковолновых асимптотик. Один — это применение к ряду Фурье преобразования Ватсона, другой — непосредственная запись функции Грина в виде контурных интегралов на комплексных плоскостях констант разделения и дальнейшее их вычисление асимптотическим методом. Оба эти способа, хорошо разработанные в задачах с цилиндрическими и сферическими границами раздела, лишь в последнее время получили развитие в задачах со сфероидальными границами раздела.
Поскольку детальное изложение этого вопроса требует рассмотрения свойств решений сфероидального уравнения (1.1) при произвольных значениях констант разделения к и т, а в данной книге такая задача не ставилась, здесь будут даны лишь основные идеи подхода к поставленной проблеме, на примере функций Грина точечного источника в присутствии вытянутого сфероида с условием Дирихле на границе.
Искомая функция Грина G(r, г') удовлетворяет уравнению
(A+k2)G(r, г') = —б(г—г'), (7.33)
граничному условию
С (г, r')U=Eo=0, где | = |0 — уравнение сфероида, и условию излучения.
138
Нетрудно убедиться, что функция Грина G(r, г') может быть формально (без строгого оправдания сходимости) представлена в виде двойного интеграла
Г, Га
(7.34)
где контур Ti на m-плоскости выбран так, как показано на рис. 13 и интегрирование по нему понимается в смысле главного значения (пересекается полюс т=0), а контур Г2 проведен так, что при любом фиксированном т,
У -X—х—
Рис. 13. Контуры Г] и Гг интегрального представления (7.34) на плоскостях т и X. Крестиками помечены полюса функции Грина.
принадлежащем Гь он охватывает на Я-плоскости собственные значения Xmt{c) задачи (1.11) и не охватывает других особенностей подынтегрального выражения. Одномерная «угловая» функция Грина G(r\, и/; т, I) является решением задачи
= -6(ri-ri'), (7.35)
G,U=±1 = 0. (7.36)
Введем функцию S~(r\; т, X), являющуюся решением однородного уравнения, соответствующего (7.35), и заданную своим поведением при г] —>—'1
S-(ti; т, X) = (l-Ti2)m/2[1 + 0(1+Ti)] (7.37)
и функцию S+(r\; т, %)=S-(—r\; т, I). Тогда функция Грина Gi(t], ц'; т, X) представляется в виде
Gi (ti, и ; m, л) =-—.-'—7—x——гг> (7-3o)
где ri<=min(ri, и/), ri> = max(ri, ц'). Нули вронскиана
139
№(S-(r); m, X), S+(4; m, Я,)) отвечают собственным значениям «угловой» задачи Штурма—Лиувилля.
«Радиальная» функция Грина G2{\, т, X) является решением задачи
удовлетворяющим условию излучения. Введем два решения R+(%; т, X) и R~{\\ т, X), заданные своей асимптотикой при |-*-ioo
