Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
= О, ...), i = 0,l,..., г, (2.54)
и г+1 функций «(,) (у. к. с. ф. или р. к. с. ф.), отвечающих этим векторам, определяются конечной суммой базисных функций
«(')= 2й<0и„ i = 0, 1, ...,г. (2.55)
s=0
В случае (2.50) из равенства det.4=0 находим бесконечное число собственных значений у. к. с.ф. (или р. к. с. ф.) А/, /=/о, /о+1, ••• Им соответствуют ненулевые бесконечномерные векторы g{t). Следовательно, векторы g{l)={gr, g{l)) содержат бесконечное число отличных от нуля компонент. Рассматривая последовательно решение систем (2.51), (2.52), получаем, что если ф0 то вектор g<-rl) отличен от нуля, и функция ищ представляется бесконечным рядом, в котором суммирование начинается от нуля. Если ^(|_,=0, то вектор gr равен нулю, и суммирование в бесконечном ряде для и{1) начинается с г+2.
Если при некотором выборе параметров р, а (р, Ь) уравнение 1*+1 = 0 имеет два корня г, t
Tr+i = 0, t«+i=0, t>r>0, (2.56)
то определитель матрицы А факторизуется на три сомножителя
det А = det A t det A, det Л( = det Ar detlt. (2.57)
Здесь At, АГ—-матрицы порядков t+l, г+1, выделяемые из бесконечномерной матрицы А по правилу (2.47), a At — матрица порядка t—r, причем
164
Исследование, аналогичное предыдущему, показывает, что если
det Лг = 0, uetl^O, (2.58)
то t-\-l—линейно независимых векторов gU) сводятся к конечномерным векторам ^размерности t-\-\
gU> = [g<p,0), / = 0,1.....t. (2.59)
Обращение в нуль определителя матрицы А, происходит либо за счет ее блока Аг
deMr=0, detJ^O, (2.60)
либо за счет блока А~,
uetAr^0, detJ,=0. (2.61)
В случае (2.60) г-f-l линейно независимых векторов g<f) сводится к векторам меньшей размерности
g<p=[gU>,0), / = 0,1.....г. (2.62)
В случае (2.61) t—r линейно независимых векторов g(p имеют отличные от нуля компоненты.
Векторам (2.59), (2.62) отвечают функции ии\ представимые конечными суммами
и<» = 2 / = 0,1.....г, (2.63)
и(» = S gpu,, ] = r + l,...,t. (2.64)
s=0
Если обращается в нуль один из коэффициентов as
as=0, s=r>0, (2.65)
то матрица А становится блочной с нулевым блоком над диагональю, и ее определитель также факторизует-ся на два сомножителя (2.48). Повторяя предыдущие рассуждения, получаем, что в случае (2.50) вектор g имеет вид g= (0, g), где g^O, и функция и определяется бесконечным рядом базисных функций. В случае (2.49) из равенства нулю определителя Аг находится r-f-l собственных значений К,, i=0, 1, . ., г. Им соответствует г-\-\ линейно независимых векторов g(ir\ удовлетворяющих уравнению ArgT=0. Если r-я компонента g^
165
вектора отлична от нуля, то и и''1 = 2 g^)us.
s=0
Если r-я компонента ц^для некоторого вектора^') с номером i=k равна нулю, то g=0 и функция u{i) представ-
г—1
ляется конечной суммой uw = 2 gil)ws-Таким образом,
s=0
равенство (2.65) не является достаточным условием обрыва рядов.
Найдем соотношения между параметрами р, Ь{р, а), при которых у.к.с.ф. и р.к.с.ф. сводятся к полиномам.
Условие (2.46) представления у. к. с. ф. /?-типа конечной суммой базисных функций для степенного разложения (2.13) имеет вид
8r+1 = b+2p(r+l+m)=0, г^О. (2.66)
Положим
Ь = -2рп, (2.67)
где п=0, 1, ...— целое число. Разрешая условия (2.66) относительно г, получаем
г=п—т—\, п^т+1. (2.68)
Согласно (2.55) п—т различных у. к. с. ф., собственные значения которых являются корнями определителя матрицы Аг, сводятся к полиномам степени п—т—1
Ет(р, - 2рп; ч) = (1 - чя)«/2в-р<1+л)<П7»-1 (ч), (2-69)
п—т—1
5rm7m"'(n)= 2 са(1 + ч)*- (2.70)
s=0
Число нулей полинома ^"m7m_1(Ti) на отрезке [—1,1] совпадает с числом нулей у. к. с. ф. и не превышает степени полинома
qs^n—m—l. (2.71)
Индекс q в неравенстве (2.71) может принимать п—т различных значений, и поскольку полиномов тоже п—т, достаточно задать индекс q при данных пит, чтобы однозначно назвать полином.
Из свойства преобразования у. к. с.ф. при замене b—э—b (1.20) следует, что при
b=2pn, q^n—m—l (2.72)
166
у. к. с.ф. выражается через тот же полином @~mq т 1 (г\) Emq (р,2рп;ц)^
= С (1 - ту2)'"/2 е-"«-ч) ^m7m_1 (- т)) (С = const). (2.73)
Таким образом, условия сведения у. к. с. ф. к полиномам &rnm~qm~~x приобретают вид
Ь = ±2рп, q^n—m—1. (2.74)
Из неравенства (2.74) вытекает, что при я = 0 полиномиальных решений для* у. к. с. ф. р-типа нет, следовательно, никогда не сводятся к полиномам сплюснутые угловые сфероидальные функции. К полиномам никогда не сводятся также у. к. с. ф. с-типа, поскольку для них уравнение fs+i = 0 решений не имеет.
Условия (2.46) обрыва степенного ряда Яффе для р.к.с.ф. (2.33) имеют вид
Y,+I = (s-g + m-fl)(s-^ + l) = 0, s>0. (2.75) При целом
al(2p)=n, n=0, 1, ... (2.76)
и
п^т (2.77)
уравнение (2.75) имеет единственный корень
t=n—1>0. (2.78)
Согласно (2.55) п различных р. к. с. ф., собственные значения которых являются корнями определителя матрицы Л,, представляются с помощью полиномов степе-пи я—1
Umk (р, 2рп-Л) W (|^)"'/2 е-**-» .<? ml" (&), (2-79) Л' (I) = "S ?s (I - 1У (1 + I)""5"1- (2-80)
