Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
lim Я<^(р, 2рл) = (n-k- l)(n-k), (1.34)
p-»-0,n>fe+m
a p. к. с.ф. р-типа переходят в радиальную часть волновой функции водородоподобного атома с зарядом Z:
<*->0, n>fe+mL1DP "Р
[223 1—1/2_ /1 QK\
p»'(2/ + l)j "Л = W>
где l=n—k—l, а функции Rmt(r) определены в п. 2 § 8.
P. к. с.ф. с-типа Пт(с, а, Я; |) определяются как решения уравнения(1,28)после формальной замены p=ic:
ж{1*-1)жп»{с> а' Я; ^) +
+ [- Я + с2(?2 - 1) Н- а?- -р^у] Пш (с, а, Я; I) = О,
(1.36)
|Пт(с, а, Я; 1)|<со. (1.36а)
149
Спектр задачи (1.36) сплошной. Решения параметрически зависят от с, а и А,, которые могут принимать произвольные вещественные значения.
По аналогии с решениями уравнения Бесселя и радиальными сфероидальными функциями введем четыре
рода решений(с, а, А; 1), которые различаются асимптотикой при |—> оо
Пт> (с, а, A; I) = ± cos [с\ + In 2с\ + Хж) + О (^2),
Г42) (С а, А; 1) = sin + ? In 2с1 + Ц Ч- О Ц-*),
(1.37)
П^3-4) (с, а, А; 1) = тд- exp{±/(* + ?In2с\ + хт)} +
+ 0(^-2).
Решение первого рода регулярно в точке 1=1, и для него мы будем иногда опускать индекс i. Решения i=2, 3, 4 не удовлетворяют граничному условию (1.3ба) при 1=1.
Функции Пи (с, а, А; 1) можно нормировать, зафиксировав абсолютное значение коэффициентов в асимптотике (1.37), например, полагая
А=В=1. (1.38)
Интегральная нормировка определяется равенством
j ПТ (c't а, А; 1) П<? (с, а, А; 1) (I2 - 1) d\ = б (с - с'),
(1.39)
где б (с—с') — дельта-функция. В этом случае нормировочные коэффициенты равны
А = В12=сУ21л. (1.40)
Знак функций Um(c, а, X; 1) выбирается из условия их положительности при 1—у 1.
Фаза %т=%т(с, а, А) — действительная функция параметров с, а и А. Ее необходимо знать, например, для вычисления сечения рассеяния на двух кулоновских центрах (см. § 3 гл. III). При решении последней задачи параметр А в радиальном уравнении (1.36) перестает быть произвольным и должен выбираться как
150
собственное значение Я^(с, Ь) соответствующего углового уравнения.
При подстановке К = (с, Ь) в радиальное уравнение (1.36) фаза %т в соотношениях (1.37) становится неявной функцией q и Ь и ее удобнее представить в виде (§ 3 гл. III)
1т[с, а, 1™(с, Ь))=- с> + ™+1л + Атд(с, а, Ь). (1.41)
В пределе а=Ь = 0 справедливо равенство Я^(с, 0) = = Kni (с), т. е. (с, 0) равно собственному значению уравнения (1.11) гл.1 для вытянутых сфероидальных функций Smt(c, и). В этом случае р. к. с. ф. с-типа переходят в вытянутые радиальные сфероидальные функции
1Й?(с, 0, %т1 (с); I) = Rm\(с, I). (1.42)
Кроме того, как следует из определения (1.41) и сравнения асимптотик (1.37) и (1.19) гл.1,
Amq(c, 0, 0)=0. (1.43)
В другом предельном случае, когда b = 0, а—vO, с—>-0, причем а/(2с) =Z/&=const и с|—>-&r=const, имеем (0, 0) = / (/ + 1), а р. к. с. ф. с-типа переходят в кулоновские функции Fi(l\k, kr), Z=Z\+Z2.
«тйЦс, Ц1+ 1); ij = yF, (-§-, *r), (1.44)
где функции Ft(Z/k, kr) можно выразить через вырожденную гипергеометрическую функцию
Ft (Z/k, kr) = Yt krem Г [l + 1 ~ HF
^Le-^F^+l+\, 21 + 2, 2ikr}. (1.45)
Фаза Amq(c, a, b) в этом пределе совпадает с хорошо известной кулоновской фазой при рассеянии на потенциале притяжения — Zjr.
lim Amq [с, ij? О) = б, = arg Г (l+ 1 - i §-). (1.46)
В пределе р = с=0 обе краевые задачи (1.28) и (1.36) совпадают по форме и могут иметь как дискрет-
X (21
151
ный спектр, так и сплошной — в зависимости от знака а. В этом случае функциями р-типа естественно называть решения, соответствующие дискретному спектру, который имеет место только при а<0. Краевая задача (1.28), (1.29) при р=0, а<0 обладает всеми спектральными свойствами общей задачи при р2>0 и произвольном вещественном а, и для нее все соотношения (1.30), (1.31), (1.336), (1.33в) остаются справедливыми. Нижняя граница спектра определяется неравенством
-А$(0, а)-4>-а>0, (1.47)
которое легко может быть получено из анализа уравнения для р. к. с. ф., записанного в тригонометрической форме (1.11).
При р = с=0, а>0 краевые задачи (1.28) и (1.36) имеют сплошной спектр и соответствующие им решения
(0, аД; ?) будем относить к с-типу. Из формулы (1.6) следует, что асимптотика решений первого типа при |—>- оо
Пт(0, а, %; I) ~ (о?)-з/4 cos (2/51 + %т (0, а, А)). (1.48)
При р = с=а=0 уравнения (1.28), (1.36) совпадают с уравнением Лежандра, однако их решения на промежутке ?е[1, оо) физического интереса не представляют.
§ 2. Разложение кулоновских сфероидальных функций в ряды
1. Предварительные замечания. При исследовании и вычислении кулоновских сфероидальных функций используют их различные разложения в виде рядов по другим специальным функциям, свойства которых достаточно хорошо изучены. Как правило, для этого предварительно выделяют особенности в точках г=±1 и г=оо с помощью представления (1.12)
и (г) = (1 — г2) ™/ag-p(i±.)^ (г). (2.1)
Функцию / (г) ищем в виде разложения
f(z) = 2g>, &Д)"Дг) (22)
s=0
по некоторому базису «Дг)(не обязательно ортогональ-
152
ному) с коэффициентами g,=ga(p, b, к), зависящими от параметров р и b и собственного, значения к. При удачном выборе базисных функций us(z) подстановка разложений (2.1) и (2.2) в уравнение (1.1) приводит к трехчленным рекуррентным соотношениям вида
