Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Комаров И.В. -> "Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции" -> 35

Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.

Комаров И.В. , Пономарев Л.И., Славянов С.Ю Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции — М.: «Наука», 1976. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): komarov_sferoidal_fnktsii1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 88 >> Следующая

Gml (6,1') = ikRm\ (С 6<) (с, 6>). (7.8)
Здесь и в дальнейших формулах
U = mm&, Г), |>=тах(|, Г) (7.9)
Окончательно разложение полной функции Грина уравнения Гельмгольца для всего пространства G(r, г').
132
по вытянутым сфероидальным функциям имеет вид
ОО оо
G<г>г')=-ш 2 2(2~Som)5тг(с> ц)~Smi{c'ц,) х
т=0 1=т
X cosm(ф - ф') R™,(с, |<) R% (с, $>). (7.10)
Таким же способом можно построить функции Грина внешних и внутренних задач для уравнения Гельмгольца с однородными граничными условиями на вытянутом эллипсоиде ?=?о- Разница состоит лишь в том, что граничные условия для Gmi{%, %') имеют вид, отличный от (7.7). Например, в случае внешней задачи и граничного условия
G(r,r')|t_e.=0, (7.11)
имеем
G (r>r')=-Jr 2 2(2 ~Som) Sm'{с'л) Emi {с> ^х
m=0 t=m
X cos т (Ф - ф') |^) (с, |<) (с, |>) -
Бе)
R%(c,t<)R%(c,l>)^ (7-12)
Разложение функций Грина в сплюснутых сфероидальных координатах проводится аналогично. Окончательный результат для функции Грина G(r, г') во всем пространстве таков:
, со ее
°(Г'Г')=-27Г 2 2 (2-Som)SmHp, r\)Sml(p, ту") х
т=0 1=т
X cosт (ф - ф') Л$ (/>, ig<) R%\ (р, ?>). (7.13)
Можно написать еще целый ряд разложений функций Грина различных задач по сфероидальным функциям. Например, если точечный источник находится на оси вращения, получается однократный ряд по сфероидальным функциям с индексом т, равным нулю. Возможно рассмотрение поверхностных функций Грина, когда дельта-функция входит не в уравнение Гельмгольца, а в граничное условие, задаваемое на поверхности сфероида, и т. д.
133
2. Разложения плоских волн по сфероидальным функциям. Из разложений функций Грина (7.10) и (7.13) предельным переходом при r'-voo можно получить и разложение плоской волны по сфероидальным функциям.
Пусть направление векторов гиг' задано сферическими углами ft, ф и ft', ф' соответственно. Нетрудно убедиться, что при г'-»-СО
[г' — г\ = г' — г (cos ft' cos ft + sinft'sin 0 cos (ф — ф') +
Плоская волна получается из сферической волны (7.1) в пределе при r'-v.oo. Направление ее распространения противоположно направлению вектора г' и характеризуется углами fto, фо
fto=Jt—-ft', фо=ф'—я. (7.15)
Еще заметим, что из определения вытянутых сфероидальных координат (введение (1.15)) следует, что при /•' —>¦ со
% = Тг' + °{т)' Л' = со8*Ч-0^). (7.16)
Теперь, воспользовавшись формулами (7.14) — (7.16) и
асимптотическим поведением функций Ям (с, I) (1-22), получим предельным переходом г'-»-со из разложения (7.10) искомое разложение плоской волны по сфероидальным функциям
exp [ikr (cos ft0 cos ft -f- sin ft0 sin ft cos (ф0 — ф)] —
CO оо
= 22 2 /' (2 - S0m) Sml (c, cos ft0) Sml (с, л) X
m=0 l=m
X Яш(сЛ) cos т(ц>0-ц>). (7.17)
Показатель экспоненты в левой части (7.17) упрощается, если ввести угол ф между направлением плоской волны и вектором г. Тогда
cosftocosft+sinftosinftcos (фо—ф) =cos (7.18)
В дальнейшем нам понадобится еще представление показателя экспоненты плоской волны в вытянутых и
134
сплюснутых координатах соответственно kr cos if>=c[r|? cos do+
+ [ (1—Л2) (l2-l) ]1/2 sin во cos (фо-ф) ], (7.19) &r cos ty=p [t)| cos do+
+ [(1-t]2) (I2—1) ]1/2 sin cos(ф0—ф) ]. (7.20)
Разложение плоской волны в сплюснутых координатах полностью аналогично разложению (7.17) с заменой вытянутых функций на сплюснутые
СО 00
exp (ikr cosi|)) = 2 2 2 il (2 — S0m) Smt (p, cos %) x
xSm/(/>, л)/#}(/>, i6)cosm(q>0-«p). (7.21)
Сравнивая формулы (7.17) и (7.21) с разложением плоской волны по сферическим функциям
exp(tfrcosl>)= 2 2 i'(2-80m)(2l+l)fr=^x
m=0 l~m \ \ )
X P? (cos fl0) (cos f>) j/^ //+!/2 (fer) cos m (Ф - Фо),
(7.22)
можно найти ряд соотношений, связывающих сфероидальные и сферические волновые функции (теорем сложения). Перепишем в несколько иных обозначениях разложение (3.15)
оо
Smt (с, cos г}0) = Nj (с) Ц' df{c) P'P+S (cos r}0). (7.23)
s=0,l
Умножив теперь (7.23) на равенство правых частей (7.17) и (7.22) и проинтегрировав, по во от 0 до я, получим разложение вытянутых сфероидальных волновых функций по сферическим
Smt (с, Л) Rml (с, I) =
= Ъ df (c)Pm+s (cos&) У^-rJm+s+l/2(kr). (7.24)
s=0,l
Аналогичное разложение для сплюснутых сфероидальных
135
функций имеет вид Smi(P,V)Rmi (/>,?) =
= 2' d?1 (р) Pm+S (cos ft) j/^F (ftr). (7.25)
s=0,l r ^Г
где коэффициенты d?1' (/>) те же, что и в разложении (3.16). Аналогичным приемом можно найти и разложение сферической волновой функции в ряд по сфероидальным.
3. Другой вывод интегральных уравнений и соотношений для сфероидальных функций. Как уже указывалось в § 2 интегральные уравнения и соотношения для сфероидальных функций тесно связаны с разложениями трехмерной функции Грина по сфероидальным функциям. При этом собственные значения интегральных уравнений могут быть явно выражены через значения сфероидальных функций.
Положим ft0 = arccos/, фо=0, домножим (7.17) на Smt(c, t)cosm<p и проинтегрируем по ф от 0 до 2я и t от — 1 до 1 с учетом (7.19) и свойства ортогональности в. у. с. ф. Получим
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed