Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
124
позволяет получить равномерные оценки для собственных значений и собственных функций при любых значениях параметров сир, причем эти оценки тем точнее, чем больше число нулей решений. Другим достоинством квазикдассичееких асимптотик является их простота. В дальнейшем мы не будем останавливаться на вопросах обоснования и деталях метода и приведем только окончательные результаты, применительно к рассматриваемому частному случаю.
Квазиклассическая асимптотика решений уравнений типа
g+Q(z)u = 0 (6.1)
имеет вид
u(z)^N [Q (г)]-"4 exp ± i j dz , (6.2)
I z0 J
где Zo — один из корней уравнения Q(z)=0, а N — нормировочный множитель.
Формула (6.2) аппроксимирует решения уравнения (6.1) всюду, за исключением малой окрестности точек поворота zo. Асимптотика (6.2) представляет собой главный член асимптотического разложения по числу нулей решения. Условия применимости формулы (6.2) и вид поправок к ней мы здесь обсуждать не будем, отсылая за подробностями к цитированным монографиям.
Уравнения для сфероидальных функций различных типов, которые следуют из исходного трехмерного уравнения при разделении переменных в сфероидальных координатах, получаются в самосопряженной форме
Для построения квазиклассической асимптотики решений уравнения (6.3), его необходимо предварительно привести к нормальной форме (6.1). Такое приведение можно осуществить бесконечным числом способов с помощью одновременного преобразования аргумента и функции
*=X(z). </(0=«(z)yp(z)X'(z). (6.4)
Здесь x(z)—монотонная непрерывная функция, а штрих означает производную d/dz. Функция y(t) удовлетворяет
125
уравнению
d*y
(6.6)
jfi + l!'(z)\-4r(z) + o(z)}y = 0, (6.5)
где o(z) —функция t, определенная соотношениями
«W = s'"[pWx'W]-
Квазиклассическая асимптотика решений уравнения (6.5) после перехода к прежней функции u(z) и прежнему аргументу г имеет вид
u(z)^N [р (г)]-'/2 [г (г) + а (г)]-'/" х
х exp { ± i J J/7 (г) + о (г) dz}. (6.7)
Преобразование (6.4), которое обеопечивает правильное поведение асимптотических решений (6.7) в особых
точках уравнения (6.3), имеет вид (Пономарев, 1965)
\с» 1
-4j с«1
1 = У(Пг)) = и(г).
(6.8)
Для него справедливо ра-
венство
о(2) =0,
(6.9)
откуда следует асимптотическое представление
Рис. 12. Схематическое поведе- и (z)^N [р (z) р (z)]~V2 X ние эффективного потенциала , .
Г(Ч)——[Р(ч)]г в уравнении (6.3) для квазиимпульса (6.12) при с< 1 и при с» 1.
Х<
;exp|+'\fp(2)^J. (6.10)
Функция p(z) называется квазиимпульсом и определяется соотношением
р(г)=у7Й. (6.10а)
В области, где [р(ч)]2>0, т. е. при — чо<ч<чо (±т)о — корни уравнения p{r\)—Q, рис. 12), с учетом формулы (6.10) и других правил построения квазиклас-
126
синеоких асимптотик находим асимптотику ib у. с. ф., определенных уравнением (1.11)
Sm, (с, Л) = Nml [(1 - л2) Р (Л)1-1/2 cos ( J р (л) dr] ± ].
(6.11а)
В области, где [р(л)]2<0, соответственно получим Sml (с, Л) =
- Nml 1(1-Ла)р(Л)]-1/2ехр|-
J Р (Л) dr\
(6.116)
2
1 ±Ло
причем Nmi—Nmt и Nmi=i—)l~mNmi для нижнего предела интегрирования +г)о и —т|о соответственно. Здесь
pM^ + t^-jt^]'2, (6-12)
а ±Ло — корни уравнения р(г|) = О, лежащие на интервале*) г)е(—1, 1).
Формулы (6.11а), (6.116) применимы во всей области изменения т|, за исключением малой окрестности точек поворота ±Ло-
С учетом соотношений (6.10) и (1.12) нормировка Nmt(c) определяется из условия
—Чо
*) Наиболее часто используемое преобразование (6.4) (см., например, Ландау и Лнфшнц, 1963) имеет вид
y(0="(2)Vp(ij (6.8а)
и приводит к выражению
Ф)=-!(р7р)2-1(р7р)'.
что для p(z) = l— z2 дает a(z)i=(l—z2)-2. Квазннмпульс, соответствующий этому преобразованию, отличается от выражения (6.12) заменой т2-*-т2— 1. Легко убедиться, что прн такой замене решения (6.116) не аналнтнчны в точках z=±l, а соответствующие фазовые интегралы при /п=0 логарифмически расходятся (Пономарев,
Отметим также, что случай т=0 прн любом выборе квазннм-пульса требует в окрестности особых точек более аккуратного подхода, чем квазнкласснческнй, н его надо исследовать, например, с помощью метода эталонного уравнения (§ 5).
127
и равна
Nm,= [c%0/K(x)y/2, х=ло/1о, (6.14)
где корни rjo и |0 квазиимпульса равны
1/2
Ло = [И--^г(^-Па + 4т2С2)
1/2 (6.15)
а /С(х)—полный эллиптический интеграл второго рода (Градштейн и Рыжик, 1971, стр. 918):
К(х) = f . d(f (6.16)
Собственные значения X=%mt(c) находятся из квазиклассического условия квантования (q=l—яг):
j р(л)^ = я(<7+1/2), (6.17)
—я.
которое после вычисления интеграла принимает вид трансцендентного уравнения
^1Й?(х)-(1-Ло)[/С(х)-(|02-1) П (л2о,х)]} =
(6Л8)
где ?(х) и П(а2, х) —полные эллиптические интегралы первого и третьего рода соответственно*)
Я/2
?(х) = j /l -XaSin2cpd(p,
о
Я/2
П (а8, х) =. f -, d<fr (6.19)
4 J (1 -a2sinacp)^l -x»sin4p v '
*) При пользовании справочником Градштейна и Рыжика (1971) следует иметь в виду, что формулы 3.167, в которых определены эллиптические интегралы третьего рода, неверны, и в них необходимо произвести замену п-*-—п= а\
