Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
128
Уравнение (6.18) справедливо при любых вещественных с. Собственные значения кш(с) определяются из него с относительной точностью 0(q~2). В пределе малых и больших с из соотношения (6.18) следуют разложения для кт!(с) по степеням с и 1/с соответственно. В частном случае т=0 имеем:
при с-С 1
hi (с) = (<? + 1/2)2 - ? + 32(^1/2)2 + ..., (6.20) при с> 1
Ао, (C) = -C2 + C(2,+ l)--^-i^_i)l+...
(6.21)
Выражения (6.20) и (6.21) представляют собой разложения по двум параметрам q и с. Коэффициенты разложений при степенях с и с-7' совпадают с коэффициентами асимптотических разложений (4.15) и (5.40) с точностью 0(q~2).
Подчеркнем, что в формулы (6.11а), (6.116) для функций Smi(c, т]) даже при q=0, когда квазиклассические собственные значения наиболее сильно отличаются от точных, надо подставлять квазиклассические собственные значения, поскольку именно они обеспечивают аналитичность приближенных решений в особых точках уравнения для в. у. с. ф. и правильную фазу при 2с(1±п)>1.
Квазиклассическая асимптотика в. р. с. ф., нормированных условием (1.21), в области ?о<?<°°, где [/?(!)]2>0, имеет вид
Rmi (с, ?)»[с (I2 - 1) р (Е)]-1/2 cos р (I) dl - -J j, (6.22а)
где |о — корень уравнения р(1)=0 на интервале s^(l, оо).
В области Кt<to, где [р(Ъ)]2<0,
Rml (с, t)^4r[c(t*-l)\p (Ш-1/2ехр
So
(6.226)
9 II. В. Комаров и др.
129
Квазиимпульс в выражениях (6.22а), (6 226) равен
р © = р - -|^гт - Is&wY (6,23)
и совпадает по форме с квазиимпульсом для в. у. с.ф. (6.12).
Точно так же, используя формулы (6.10), можно найти квазиклассическую асимптотику с. р. с. ф.: в области 1>1о, где [/?(?)]2 >0,
Rml (р, ® = И? + 1) Р (t)]-l/2 COS (J p {t) d\ ~ -J j,
(6.24a)
в области К to, где [p(|)]2<0, RmiipJl)- jlp(t2 + l)\p(t)\]-i/2exp - j p(l)dl\.
(6.246)
Здесь |o — корень квазиимпульса р(%) на промежутке 0<|<оо
р (6) = [- р2 + -ytt ~ wfifT- (6>25)
Асимптотика с. у. с. ф. приведена в § 6 гл. П.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
В работах Вайнштейна (1965а), Cloizeaux, Meth (1972) строится равномерная (включая точки поворота) асимптотика вытянутых сфероидальных функций при больших индексах I и параметре с по методу эталонного уравнения. Там же найдена асимптотика собственных значений, как дифференциального, так и интегрального операторов, связанных с в. у. с. ф. Несколько иной метод решения той же задачи предложил Slepian (1965). Случай нецелых т исследовал Лось (1969).
Асимптотика вытянутых сфероидальных функций при больших значениях индекса т рассмотрена Meixner (1948), Abramowitz (1949), Miiller (1965). Дупленковым и Коваленко (1965).
Бабич и Григорьева (1973) получили асимптотические формулы для с. у. с ф., когда одновременно оба индекса I и т и параметр р стремятся к бесконечности.
Квазиклассическая асимптотика вытянутых сфероидальных функций при произвольных с построена в работе Пономарева (1967).
130
§ 7. Разложения функций Грина и плоских волн по сфероидальным функциям
1. Разложения функций Грина по сфероидальным функциям. Рассмотрим разложения по сфероидальным функциям функций Грина ряда задач, связанных с уравнением Гельмгольца. Эти разложения, во-первых, важны для приложений, во-вторых, они могут быть использованы для вывода ряда соотношений, связывающих как сами сфероидальные функции, так и сфероидальные функции со сферическими.
Функция Грина уравнения Гельмгольца для всего пространства
в(^'>-Т?'17ГР' (7Л)
задающая стационарное волновое поле точечного источника, расположенного в точке г', определяется как решение неоднородного уравнения
(A+k2)G(r, r') = -6(r-r'), (7.2)
удовлетворяющее условию излучения
Н
Здесь 6 (г—г') —трехмерная дельта-функция Дирака.
В вытянутых сфероидальных координатах 6 (г—г') записывается в виде
6 <г ~ г/) = da (ё28_ ц.) б (6 - Г) б (л - л') б (ф - фО • (7-3)
Множитель б(т)—ч0б(ф—ф') может быть представлен в виде разложения по полной ортогональной системе функций Smt(c, r\)e±im* на единичной сфере с полярными координатами ф, t> (f}=arccosп)
6(л-л')8(ф-ф') =
оо оо 2 _§ _
V2 2JI°W Swt(c, и) Sml(с, л,)созт(ф- фО, (7.4)
т=0 г=т
Где
s I 1, т = О
Oom =
О, т^О,
131
Коэффициенты Фурье в разложении (7.4) находятся стандартным образом, причем используется симметрия дельта-функции.
По методу разделения переменных функция G(r, г') ищется в виде
G{r, г')= ^ 2 -Z%TL3n,i{c, y\)Sml(c, г,') х
X cos m(q>-q>') С, (&,&')• (7.5)
Подставив выражение (7.5) в уравнение (7.2), записанное в сфероидальных координатах (см. (7.3) и (2.1) введения), получим, что функция Gm!(|, %') является решением задачи
^-(Si-l)-^Gm/(S,S') +
+
-?w + c2(!2-l)- р^т
2
Gml(l 1') =
- d&(l-V), 1<6<оо, (7.6) |Gm,(l,S')l<°°. HmS^G-fcG)->0. (7J)
Таким образом, функция Gml(\, \') является функцией Грина одномерного дифференциального оператора (7.6), (7.7) и может быть построена стандартным образом
через два решения однородного уравнения Ят\ (с, |) и Яш (с, |), удовлетворяющих граничным условиям (7.7).
Используя значение вронскиана W(Rm](c, !), Ят\(с, %)) из (1.25), можно получить одномерную функцию Грина Gmtil, %') в виде
