Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Комаров И.В. -> "Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции" -> 45

Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.

Комаров И.В. , Пономарев Л.И., Славянов С.Ю Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции — М.: «Наука», 1976. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): komarov_sferoidal_fnktsii1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 88 >> Следующая

§ 3. Задача двух кулоновских центров в квантовой механике
1. Основные определения. Представление решений через р. к. с. ф. и у. к. с. ф. Задача двух центров в квантовой механике (задача Z}eZ2) состоит в нахождении волновых функций электрона, движущегося в поле двух закрепленных зарядов Zj и Z2, удаленных на расстояние R.
В безразмерных переменных соответствующее уравнение Шредингера задачи двух центров имеет вид
(-±br-^-^<&{nR)=m{nR)' (ЗЛ)
где Г] и г2 — расстояния от электрона до зарядов Z\ и Z2 соответственно, а Е — энергия электрона, которую надлежит либо определить (в случае .?-< О, дискретный спектр задачи Z}eZ2), либо задать (в случае ?>0, непрерывный спектр задачи Z}eZ2). Свойства решений в этих двух случаях сильно различаются.
В вытянутых сфероидальных координатах*)
^ = Т^' Т1=?Т2' Ф = arctg ^- (3.2)
координаты заряда Z} равны ?=1, г\=—1, а координаты заряда Z2 равны соответственно 1=1, т]=1. В дальнейшем, если это не оговорено особо, будем предполагать, что Zj>0 и Z2>0, причем Z2^-Z\.
Одномерные уравнения по переменным g и ц, возникающие при разделении переменных в уравнении (3.1) (см. введение), совпадают с уравнениями (1.28) и (1.14) для р. к. с. ф. и у. к. с. ф. соответственно при значениях параметров
р=4К=2?, a = R(Z2 + Z1), b = R(Z2-Z1), (3.3а)
*) По установившейся традиции в квантовой механике расстояние между фокусами координатного эллипсоида (в которые поме* щепы заряды Zi и Z2) обозначают через R вместо прежнего обозначения d, которое принято, например, в радиофизике.
171
причем пара одномерных уравнений, эквивалентна исходному уравнению (3.1) при условии равенства собственных значений Я в обоих уравнениях
яШ(р,а)=Я^(Р)Ь). (3.36)
При ?<0 параметр р вещественный и обе кулоновские сфероидальные функции относятся к р-типу. В этом случае решение трехмерной задачи (3.1) представляется в виде произведения радиальной, угловой и азимутальной частей следующим образом:
е±<тф
= Nkqm (р, а, Ь) Ilmk (р, а; ?) Emq (р, Ъ\ ifl —(3.4)
у 2л,
Здесь индекс /= {kqm} означает набор квантовых чисел, из которых к и q совпадают с числами нулей соответствующих функций по переменным % и г\, а число т принимает значения т = 0, 1, 2, ...
Нормировка Nkqm(p, а, Ь) определяется из условия
|ф},(Г;#)ф,(Г; #)dr =
= J Фк'д'т' (I, Ч, ф! R) Фкдт (I, Ц, ф5 R) dx = 8кк'8д„А
dx = ^-(l2- t|VE<M<p.
mm i
(3.5)
_ Если в равенстве (3.4) использовать функции
Нтк(р, а; %) и Нтз(р, Ъ; г\), нормированные равенствами (1.15) и (1.30), то из условия (3.5) с учетом соотношений (1.24а) и (1.33а) можно выразить Nkqm(p, а, Ъ) через производные по р собственных значений Я„й(р, а) и Ор,&)
—1
(3.6)
В случае непрерывного спектра (?>0) параметр р, определенный формулой (3.3а), чисто мнимый, у. к. с.ф. и р. к. с. ф., через которые выражается решение Ф(г;^) уравнения (3.1), относятся к с-типу и удовлетворяют уравнению (1.146) и уравнению (1.36) соответственно.
решение Фе (г; R) имеет в этом случае вид Фс(г;Я) = Фтя& т1,ф;й, #) =
= Nmq (с, а, ft) Пт (с, ft, С(с, 6); t) Bmq (с, Ь; Ч)у^-- (3.7)
Здесь импульс k связан с энергией Е соотношением
E = k2/2, (3.8)
а параметр с определяется равенством, которое следует из (3.3а) с учетом (3.8) после формальной замены р->-г'с:
c=kR/2. (3.9)
Индекс с={т, q; k) обозначает набор из двух дискретных квантовых чисел т и q и непрерывного параметра k. В формуле (3.7) Xml(c, ft) —собственные значения уравнения для у. к. с. ф. с-типа 3mq(c, ft; ч).
Нормировка решений выбирается обычно в виде
J<IW (I, ч, ф; k', R) ФтЦ, г), ф; k, R) dT=6w.6mm.6 (k-kT).
(ЗЛО)
В случае Zi+Z2>0 задача ZieZ2 имеет как дискретный, так и непрерывный спектр собственных значений энергии Е при всех значениях R. В случае Z^Z^O, причем один из зарядов положителен, дискретный спектр (?<0) существует только при достаточно больших R, и при сближении зарядов уровни энергии непрерывно переходят в континуум (Е>0).
2. Дискретный спектр. Общие свойства решений. Энергия Е в уравнении (3.1) при ?<0 принимает дискретный ряд значений. Для заданных индексов решения k, q, т и фиксированных Zb Z2 и R эти значения могут быть найдены, например, из равенства (3.36), в котором параметры определены соотношениями (3.3а).
При фиксированных значениях a, ft, j={kqm} уравнение (3.36) имеет единственное решение (если оно существует)
p=phim{a,b). (3.11)
Это утверждение следует из невырожденности набора собственных значений %\%{р,а) и Я{$(р, ft) краевых задач (1.28), (1.29) и (1.14а), а также из свойств
173
монотонности (1.33а) и (1.24а) собственных значений как функции параметра р. Разрешая соотношение
P*?m(*<Z« + Zi). tf^-ZJ) =-fl/=2? (3.12)
относительно Е, находим дискретный спектр задачи ZveZ2:
Ej(R)=Ekqm(R, Zu Z2). (3.13)
Функции Ej(R) называют термами задачи двух центров. Из равенства (3.12) следует, что при фиксированных значениях зарядов Zv и Z2 и заданном наборе квантовых чисел, /= {kqm} энергия электрона зависит только от одного непрерывного параметра R (зависимость от Zj и Z2 в дальнейшем будем опускать).
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed