Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
О
-0,25
'0,5
-0,75
\\
5g6[5Wff] WatWOD]
v 3s6[3'2'00] ^^^^Зрй^ГГО] 3d6[3'02'0]
Рис. 196. Полная энергия Wj(R) системы ZieZj при Zi=l, Z2=4.
этой системы экспоненциально сгущаются к границе континуума (см. § 7).
В отличие от собственных значений Я„| (р, а) и (р, Ь) одномерных краевых задач Штурма — Лиувилля (1.28а) и (1.14а), которые являются монотонными функциями параметра р, термы Еj{R) трехмерной задачи (3.1) — немонотонные функции R.
187
Термы с различными наборами j={kqm) и /'= = {k'q'm'} могут пересекаться между собой при некоторых конечных JR. Для этого необходимо, чтобы различались одновременно по крайней мере два квантовых числа из наборов / и /*', например k=?k' и q=?q'. Термы,
-0,5
Рис. 20а. Термы Е j(R) системы ZxeZ2 при Zi = l, Z2 = 5.
различающиеся только одним квантовым числом, пересекаться не могут. В самом деле, предположим обратное и допустим, что термы Ej(R) и Ej-(R) пересекаются при некотором значении R=Rih причем т = т', k—k', но q?=q'. Тогда собственные значения радиального уравнения равны между собой
№ (Ркат (Яо). #0 (Z, + ZJ) = Л$ {Pwm (/?,), R0 (Z, + Zx)),
188
ПОСКОЛЬКУ ПО УСЛОВИЮ РкЯт(Ко)== Pk'qm (#о) -Из УрЭВНе-
иия (3.36), определяющего значение термов Ej(R0) в точке Ro, следует также равенство собственных значений углового уравнения
^mi (Pkqm (^о)> ^0 (^2 — = ^mq' (pkq'm (^о)> ^0 0^2 ~ ^l))>
и поскольку при цфц' такое равенство невозможно, то
WjfffJ
О
-0,5
Bh6[6'05'0]
5s6[5'?0'0] Sg6[/000]
v
T'Z'OO] [J'f'I'Oj \
5 10 fS 20
R
Рис. 206. Полная энергия ^j(R) системы ZieZ2 при Zi=l, Z2=5.
неверно и исходное предположение о возможности равенства Ej(Ro) = Ej'{R0) при т=т', к=Ы, но цфц'.
Долгое время факт пересечения термов в задаче Z^eZ2 привлекал внимание в связи с теоремой Неймана — Вигпера, одна из формулировок которой состоит в следующем: термы одинаковой симметрии квантовой системы, зависящие от непрерывного параметра, могут пересекаться только в том случае, если система обладает
189
дополнительной симметрией по сравнению с геометрической. Такая дополнительная симметрия в задаче Z\eZ% имеется, поскольку с оператором гамильтона Н системы коммутируют не только оператор Lz поворота вокруг оси г и оператор инверсии / (при Z\=Z2), но также оператор константы разделения Л (см. п. 1 § 8), (Возможность разделения переменных в задаче ZieZ2 в вытянутых сфероидальных координатах обусловлена существованием этого набора попарно коммутирующих
-Щ1
-am
Рис. 21. Термы Ej(R) системы ZieZ2 при Zi =—1, Z2=l.
операторов, см. § 8). Поэтому в системе Z\eZ2 термы с одинаковыми значениями /пи / могут пересекаться между собой (рис. 16, где 3dog- и 2sog-TepMbi Н? пересекаются в точке /?0~3,3). Напомним, что пересекающиеся термы должны отличаться по крайней мере двумя квантовыми числами из трех.
Кроме пересечений термов, в системе Z{eZ2 возможны квазипересечения термов Ej(R). Характерным их признаком является одновременное сближение термов Ej (R) и констант разделения Kj(R), соответствующих двум наборам квантовых чисел / и /', в некоторой малой окрестности RmR0^>l (рис. 206 и 23, где изображены термы и константы разделения системы Z\ = \, Z2 = 5. Ква-зипересекаются термы 5ga и 4/о при R^\3).
В отличие от пересечения термов, которое возможно лишь в том случае, когда по крайней мере два кранто-
190
вых числа из наборов / и /' отличны между собой (на-пример,«1* цФ q'), квазипересечения существуют только для термов, у которых лишь угловые квантовые
Wj(R)
'0,1
-0J
-0,7
1
и ffsefS'5'О'О] i^6ff6[6'f'Y0] ~^7i.6[/000j
6h6[B'0'5'0] ~~~
МбР/ОЩ \\
Ш[4У7/оЩ. 5d6[5'Z'Z'0]
10 20 JO 40
R
Рис. 22. Полная энергия Wj(R) системы Z{eZ2 при Zi = \, Z2=7.
числа из наборов / и /' различаются на единицу, т. е.
необходимо выполнение условий
n1 = n[ = k, q = q,Jr\, т — т!. (3.33)
Волновые функции Фу (г; R) и Фу(г; R), соответствующие термам Ej (R) и Ej'{R), в окрестности квазипересечения RrnRo различаются между собой примерно так же, как симметричное и антисимметричное решения, соответствующие одному и тому же значению энергии в системе ZxeZ2 при Z\=Z2=\. На рис. 24 и 25, где изображены волновые функции системы Z\ = \, Z2=5,
191
в точке квазипересечения /?0^13. Отмеченная аналогия не случайна, поскольку и расщепление термов в точках квазипересечения, и расщепление симметричного и антисимметричного термов системы ZxeZ2 при Z\=Z2=\
-Aj(lt)
50
О
-то
59<б\
W 20
R
Рис. 23. Константы разделения — "kj{R) для различных состояний системы ZxeZ2 при Zi = \, Z2=b как функции межцентрового расстояния R.
определяются обменными квантовомеханнческими эффектами при совпадении энергий в двух потенциальных ямах, разделенных барьером.
В асимптотической области /?>>1 волновые функции Фу (г; R) и Фу'(/*; R), соответствующие eZv и ^-термам,
192
Рис. 24. Радиальные волновые функции ПтЛ(|; /?) системы Z{eZ2 при Zi=l, Z2=5 при различных межцеитровых расстояниях R для термов 5ga (/={040}, сплошная кривая, eZi-терм), 4fo(/= {ОЗ'О}, пунктир, eZj-терм) и 4so(/={3'00}, штрих-пуиктир, eZ2-TepM). Функции не нормированы, масштаб по оси абсцисс различен и определяется граничной точкой |*=1+10/р.
