Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
3 И. В. Комаров и др.
193
сосредоточены у каждого из центров Z\ и Z2, а для термов E](R) и Ej'(R) справедливы асимптотические разложения по степеням 1/R (см. § 4). Характерной особенностью квазипересечений является тот факт, что по обе стороны от точки квазипересечения R&Ro ветви кривых, принадлежащих различным термам (например, 4fa и 5ga на рис. 206), представляются одной и той же
2
пд(х)
I 5 9 ff 17
Рис. 26. Графики функций ng(x), определенных формулами (3.34),
при различных значениях и, х= (Z-JZi) h.
асимптотической формулой (если не учитывать экспоненциально малых поправок). Волновая функция Фу (г; R) eZi-терма, которая при R>Rv сосредоточена в окрестности заряда Z\ при t]«—1 (терм 5ga на рис. 206), при уменьшении R, в области R<:Ro, сохраняет число нулей неизменным (т. е. по-прежнему соответствует eZi-терму), однако сосредоточена вблизи заряда Z2 при t)«l, что характерно для волновых функций eZ2-TepMOB. В области Rt&Ro волновые функции квазипересекающихся термов делокализованы и имеют одинаковый порядок величины вблизи каждого из зарядов Zi и Z2 (рис. 25, #=13).
13*
195
В связи с тем, что понятие квазипересечения не удается определить достаточно строго (см. § 4), их число в системе Z\eZ2 можно оценить только приближенно. В частности, для е2гтерма с квантовыми числами п, п\
число Го квазипересече-
6,0 3,0
о
-3,0
-в,о
~9,0 $ 0,8\ 0,1 О
-о*
к=0
- _______———Г Т 1 1 1 1 1
- 2
5
4
ний с eZ2-TepMaMH оценивается по формуле (Пономарев, 1968)
r0=Ent[ng(x)],
(3.34)
g(x) = (x-l)(x+l-
~1\+2x),x=(Z2lZx)%-
Из рис. 26, на котором изображены функции ng(x) при различных п, следует, что для терма п=\ первое квазипересе-чение (r0= 1) возможно только при Z2/Zi=6.
Аналитические формулы, определяющие положение точек квазипере-сечевия Rq, значения анергии термов Ецта aiEj(Ro) и величину расщепления 8E=Ej (Ro) — —Я/#о) в этих точках, а также волновые функции системы ZieZ2, приведены в § 4. 6. Непрерывный спектр *). При ?>0 решения уравнения Шредингера (3.1) представляются через кулонов-ские сфероидальные функции с-типа по формуле (3.7)
Фс(г; R) =Ne(k, R) Птв(|; k, R) Bm,(4; k, R) Ащ* (3-35)
Рис. 27. Константы разделения
—Xm« (k, R)= — Х(Ч)(с, b) в утло-vttf
вом уравнении для волновых функций непрерывного спектра задачи Z\eZ% при Zt—Zi = l для различных наборов т, q и значений k.
*) Авторы благодарны Л. Н. Сомову, выполнившему расчеты к п. 6.
196
198
/г
Рис. 30. Фазы рассеяния Aog(?, R) па двух кулоновских центрах с зарядами Zi=l, Z2=2 как функции # для фиксированных k. При А = 0,2 значения фаз уменьшены в 10 раз. a) q = 0, б) q = l;
Am? (А, 0) - arg Г iq + /п + 1 - i ^ * Z*\ см. (1.46).
199
Таблица 13
Источник Состояния Значения аргумента Число верных знаков Примечания
Bates н др. (1953) lso, 2pa ) 2 so, 3so, Зра, 4pa } 3da, 4 fa, 2pn, 3dn J 0(0,2)5(0,5)9 0(0,2)5(0,5)10 5 5 Приведены также константы разделения x н коэффициенты разложения g, н с, волновых функций
Wallis and Hul-bert (1954) 1 so, 2 so, 3so 2pa, Зра, 3da 4pa, 4da, 4fa 2pn, 3pn, 3dn 0(5)15(10)45 8 Приведены также константы разделения А,
Wind (1965) 1 so 0(0,05)20 7
Peek (1965a) Peek (1965b) 1 so, 2pa 0,10(0,01)1(0,05)30 1(0,5)30 13 13 Приведены также константы разделения x
Результаты вычислений состояний молекулярного иона водорода Н_~
Bates and Reid (1968) 1 70 состояний с /s?9 m<4 «i<4 tfs^lO 0 (0,25л) Зл(0,5л)7я (1я)10«(2л)20я(4д) 52л 6 Приведены величины F=—En2 как функции s=R/n
Teller and Sahlin (1970) 1 so, 2 so, 3 so 2po, 3po, 3do 4po, 4 f о, 2ря, 3dn 0(0,25)2,5(0,5)10(2)14 6 Приведены ?/(#). %, dEj(R)ldR,Nj(R), g. и с,
Madsen and Peek (1971.) 1 sag, 2pau 2 sag, 3pau 3dag, 4/ou 2ряи, 3dng л=1 • «=2 1(0,5)90 13 Приведены также константы разделения Я,
3 sag, 4pou idae, 5/ou 5gae, 6hau Зряи, 4dns 4/яи, Цлв 3dbg, 4 jbu ¦ я=3 1(0,5)90(1)150 13
где
Птя (|; k, R) = Um [с, a, А™ (с, b); \),
Вт? (t); k, R) = Smi7 (c, b; t)), (3.36)
c=W?/2, а=#(22+2!), b=R{Z2-Z,),
K*(k, R) = *SU{c, b). (3.36a)
Собственные значения Я^(с, Ь) и угловые функции ВтЯ(ц; К R) такой системы совпадают с угловой частью волновых функций непрерывного спектра водородопо-добного атома с зарядом Z2—Zi в сфероидальных координатах.
Собственные значения 7^1 (с, Ь) вычисляются из равенства нулю цепной дроби (2.19) с коэффициентами р„ %„ б, (2.15), в которых произведена замена p-w'c. Волновые функции (3.36) находятся затем непосредственным интегрированием уравнений (1.146) и (1.36).
На рис. 27 и 28 представлены константы разделения hmt(k, R) и угловые функции Ет(г\; k, R) задачи ZieZ2 при Zi = 1, Z2=2.
Радиальные функции Пт,(|; k, R), изображенные на рис. 29, нормированы асимптотическим равенством
nmv (I; k,R) = ± cos (eg + ? 1п2с| - 1±3±L n +
+ Am(k, R]j+o(-pj. (3.77)
При такой нормировке у. к. с. ф. и р. к. с. ф. трехмерная волновая функция (3.7) нормирована условием (3.10), если положить
Nc (k, R) = *!/"-§-• (З-38)
