Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Как и в предыдущем параграфе, возьмем какую-либо точку M и проведем через нее прямую, имеющую направление единичного вектора з, или кривую, касательная к которой в точке M имеет направление s. На зтой прямой или кривой возьмем соседнюю с M точку M', причем пусть длина дуги MM' равна As. Составим теперь отношение разности значений вектора а в точках M' я M к As:
a (Af) — a (Af) As производная вектора по hanpabnfhhk
125
предел этого отношения при Д» —» 0 (если таковой существует) называется производной вектора а по направлению з в рассматриваемой точке M и обозначается череа
| = Hm «<"-> —W (1)
Если на нашей дуге, начинающейся в точке М, мы будем отсчитывать длину дуги от точки M и обозначим ее через s, то а (ж, у, z) будет сложной функцией OT S череа посредство X, у, Z и потому по обычному правилу дифференцирования сложных функций мы будем иметь
Но
dz
да_da^ dady dndt
дз дх dt ду ds дг ds
d^s = COS (8, х), Ys = ?0s (8' a0> % =° 009 г)
Поэтому мы получаем соотношение
= cos (s, і) ^ + cos (s, у) Щ + cos (s, z) afz (2)
совершенно аналогичное формуле (3) предыдущего параграфа для J^. В предыдущем параграфе мы имели формулу (8)
Й—
По аналогии с этим мы введем обозначение
D= (S-V) а ГЗ)
Рациональность такого обозначения может быть обоснована следующим образом. Составим скалярное произведение зектора
S = і cos (s, х) H- j cos (s, у) -)- к сои (s, z)
и символического вектора
iI+ ІТу+кІ
В результате мы получим новый дифференциальный оператор
з. V = cos (s, х) ^ H- cos (s, у) щ H- cos (s, z) . (4)
применение которого к вектору а дает по формуле (3) как раз ^, поэтому обозначение (3) является совершенно естественным.
Рассмотрим теперь несколько более общую операцию, а именно, введем понятие градиента вектора а по вектору v, который обозначается символом (v. V) Чтобы определить этот вектор, мы можем поступить, например, таким образом: составим формально скалярное произведение 126
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
вектора
v = i»* + j»„ H- k»t
и символического вектора ^7; в результате получим дифференциальный оператор
Поэтому под вектором (v-V) а мы будем понимать вектор
-*?+*?+*? (6)
Если вектор V имеет то же направление, что единичный вектор S, так что
V = VS
где V = j V j есть модуль вектора V, то мы будем иметь
Vx = V COS (s, X), Vy = V COS (s, у), Vt =¦ V cos (s, z)
Поэтому
(V. V) a = P jcos (s, х) д~ + cos (s, у) H- cos (s, г) Щ или, что то же,
(W)a = ^ (7)
Итак (v-V) а есть производная вектора а по направлению вектора V, умноженная на величину вектора е.
Беря в формуле (6) за вектор v бесконечно малый вектор
dr = і dx H- j dy H- k dz
мы получим
{dT.x7)* = + + (S)
и так как справа стоит da, то получаем весьма важную формулу
{flfr.V)a = flfa (9)
очевидно, аналогичную формуле
dtp = dr-^ф
Проектируя обе части формулы (6) на осн координат, получим составляющие градиента одного зектора по другому:
«V.V) +?? + *,t
«Т. V)*-..+ (10)
да 2 _[_ да j м да2 производная вектора по направлению
127
Между прочим из этих формул следует, что
{(V • V) а}х = V-Vax (И)
и аналогичные формулы для осей у и г.
Рассмотрим следующий пример. Пусть в пространстве задана система линий так, что через каждую точку пространства проходит одна и только одна линия системы. Пусть а есть единичный вектор касательной к линии, проходящей через рассматриваемую точку. Выясним геометрнческое значение (e« V J^-
no самому определению
(-V)..
где производнаи беретси по направлению касательной к линии; но в п. 6 § 9 было выиснено [формула (37)], что
до _ а
da ~ R
где п — единичный вектор главной нормали, a R — радиус кривизны дли линии, проходящей через рассматриваемую точку. Итак,
Задача 103. Найти, чему равно (c« V) г. где г есть радиус-вектор.
Ответ: с.
2. Градиент одного вектора по другому часто встречается в вычислениях. Мы здесь остановимси на одном важном применении этого понития.
Допустим, что мы имеем движение некоторой сплошной среды, например жидкости, и пусть поле скоростей в зтом движении дается функцией V (г, t), так что V есть вектор скорости частицы жидкости, проходящей в момент времени t через точку M (г). Рассмотрим некоторую ска-лирную функцию ноля ф (г, г), например, температуру различных частиц жидкости, причем мы предполагаем, что эта функция зависит и от времени t.
Если мы желаем изучать изменение функции ф за некоторый промежуток времени, то мы можем поступать двояким способом, а именно, мы можем рассматривать изменение ф в данном месте, или же мы можем рассматривать его для данной частицы. Разницу между этими двуми изменениими можно уяснить на следующем примере. Если мы измеряем изменение температуры на поверхности земли, то мы получаем, очевидно, изменение температуры в данном месте. Если же мы находимся на воздушном шаре, который уравновесился в зо здухе и движет-си вместе с воздушным потоком, то изменение температуры, измеряемое на этом шаре, может, очевидно, быть рассматриваемо как изменение тем нературы для частиц воздушного потока. 128
