Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
§
r.dS = ЗУ
3) Вычислим следующий поверхностный интеграл по замкнутой поверхности
ф г cos (п, г) dS = ф z dx dy
S S
и докажем, что он равен объему V, ограниченному поверхностью S:
ф Z cos (п, г) dS «= F
(У)134
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
Рассуждение будет совершенно аналогично предыдущему, только рассечение надо производить при помощи цилиндров с образующими, параллельными оси z. При этом про поверхность S мы предполагаем, что прямые, параллельные осям координат, пересекают ее в конечном числе точек.
Рассмотрим теперь какой-нибудь цилиндр, построенный на прямоугольном бесконечно малом основании d 2, лежащем в плоскости ху, и имеющий ребра, параллельные оси z (фиг. 51). Пусть этот цилиндр пересекает поверхность S в четырех точках M1, M2, М%, Mi.
Те элементы cos (п, z) dS, которые вырезаются цилиндром у точек M1
и Ms, равны <І2, ибо нормаль п к поверхности S образует с осью Z в точках M1 и M3 острые углы; напротив, элементы cos (n, z) dS, вырезаемые цилиндром у точек M2 и Mi, надо считать равными — d 2, так как нормаль п в этих точках образует с осью z тупые утлы.
Обозначим z-вые координаты точек M1 M2, M3, Mi соответственно через Z1, Z2, Zt, Z4; легко видеть, что сумма элементов'. Z cos (п., z) dS рассматриваемого поверхностного интеграла, соответствующих элементам поверхности, вырезаемым цилиндром, построенным на основании d S, равна
as "
Фиг 51
(Z1 — Z2 + Z8 — z4) ??2
т. е. равна как раз той части объема V, которая вырезается цилиндром, построенным на «!2. Повторяя это рассуждение по отношению ко всем таким цилиндрам и производя суммирование по всем элементам d 2, мы докажем формулу (8).
4) Докажем, наконец, что для замкнутой поверхности S интегралы
і х cos (n, z) dS = 0, ф у cos (н, z) dS О
(9)
обращаются в нуль.
Точно такое же рассуждение, как только что проделанное, приводит к выводу, что сумма элементов х cos (н, z) dS первого поверхностного интеграла, соответствующих элементам поверхности, вырезаемым цилиндром, построенным на основании (?2, равна
(х — X + X — х) d 2 = О
а значит и весь поверхностный интеграл равен нулю.
4. Рассматривая поле какого-либо вектора а, очень часто для большей наглядности удобно говорить об этом поле, как о поле скоростей некоторой фиктивной жидкости. С этой точки зрения легко уяснить себе смыслПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ
135
названия поверхностного интеграла потоком вектора а; в самом деле, пусть через некоторую площадку, представляемую вектором dS, фиктивная жидкость, полем скоростей которой служит наше поле, вытекает так, что а направлено во вне; за малый промежуток времени Al через площадку </S, очевидно, вытечет объем жидкости в виде цилиндра, основание которого представляется вектором cZS, а ребра векторами аДt; величина этого объема есть как раз аДг-rfS = an&tdS, ибо это скалярное произведение равно величине вектора dS, т. е. площади основания dS цилиндра, помноженной на CLnAt, т. е. на проекцию ребра аД2 на нормаль к этой площади, каковая проекция является высотой цилиндра. Отнесенный к единице времени поток через элемент dS будет a.rfS, а через всю поверхность
^ Si'dS
Если S есть замкнутая поверхность, ограничивающая некоторый объем, то вытекающая жидкость дает положительную часть потока, втекающая — отрицательную. Иначе говоря, если мы проведем линии вектора а, то элементарные площадки поверхности, где эти линии входят з объем, дают отрицательные элементы интеграла, а где выходят — положительные.. Таким образом, поток вектора а указывает количество жидкости, вытекающее из данного объема в единицу времени (если в данный объем жидкость втекает, будет получаться отрицательный поток).
5. Возьмем теперь какую-либо точку поля Р, окружим ее малым объемом V и вычислим поток вектора а через поверхность S, ограничивающую объем V; разделим его на V, чтобы отнести к единице объема, и перейдем к пределу, устремляя к нулю все размеры V, что мы будем обозначать символом V -— 0, стягивая при этом объем V к точке P- В результате получится некоторое число, зависящее от поведения а вблизи точки P и характеризующее степень истечения из области точки Р. Это число называется расхождением вектора а в точке P и обозначается чаше всего символом diva (от слова divergere— расходиться). Таким обравом
(j) <indS
div а = lim (10)
V-Ч) v
т. е. расхождение вектора а есть отнесенный в единице объема поток вектора а через поверхность бесконечно малого объема, окружающего рассматриваемую точку.
Это определение нужно оправдать в том смысле, что нужно показать, что тот предел, которым определяется расхождение вектора а, действительно существует и не зависит от вида объема, который стягивается н точке Р. Мы покажем это, установив аналитическое выражение div а через составляющие вектора а. При этом мы будем предполагать, что частные производные по х, у, z от составляющих вектора ах, Oy, аТ136
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
существуют и непрерывны, и что поверхность 5 стягивается к точке P равномерно в том смысле, что наибольшее и наименьшее расстояния точек поверхности S до точки P ивляются бесконечно малыми величинами одного порядка, который мы примем за первый, что величина всей поверхности S есть бесконечно малая величина второго порядка, а величина объема V, ограниченного поверхностью S,— бесконечно малая величина третьего порядка.