Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 46

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 144 >> Следующая


§

r.dS = ЗУ

3) Вычислим следующий поверхностный интеграл по замкнутой поверхности

ф г cos (п, г) dS = ф z dx dy

S S

и докажем, что он равен объему V, ограниченному поверхностью S:

ф Z cos (п, г) dS «= F

(У) 134

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Гл. Il

Рассуждение будет совершенно аналогично предыдущему, только рассечение надо производить при помощи цилиндров с образующими, параллельными оси z. При этом про поверхность S мы предполагаем, что прямые, параллельные осям координат, пересекают ее в конечном числе точек.

Рассмотрим теперь какой-нибудь цилиндр, построенный на прямоугольном бесконечно малом основании d 2, лежащем в плоскости ху, и имеющий ребра, параллельные оси z (фиг. 51). Пусть этот цилиндр пересекает поверхность S в четырех точках M1, M2, М%, Mi.

Те элементы cos (п, z) dS, которые вырезаются цилиндром у точек M1

и Ms, равны <І2, ибо нормаль п к поверхности S образует с осью Z в точках M1 и M3 острые углы; напротив, элементы cos (n, z) dS, вырезаемые цилиндром у точек M2 и Mi, надо считать равными — d 2, так как нормаль п в этих точках образует с осью z тупые утлы.

Обозначим z-вые координаты точек M1 M2, M3, Mi соответственно через Z1, Z2, Zt, Z4; легко видеть, что сумма элементов'. Z cos (п., z) dS рассматриваемого поверхностного интеграла, соответствующих элементам поверхности, вырезаемым цилиндром, построенным на основании d S, равна

as "

Фиг 51

(Z1 — Z2 + Z8 — z4) ??2

т. е. равна как раз той части объема V, которая вырезается цилиндром, построенным на «!2. Повторяя это рассуждение по отношению ко всем таким цилиндрам и производя суммирование по всем элементам d 2, мы докажем формулу (8).

4) Докажем, наконец, что для замкнутой поверхности S интегралы

і х cos (n, z) dS = 0, ф у cos (н, z) dS О

(9)

обращаются в нуль.

Точно такое же рассуждение, как только что проделанное, приводит к выводу, что сумма элементов х cos (н, z) dS первого поверхностного интеграла, соответствующих элементам поверхности, вырезаемым цилиндром, построенным на основании (?2, равна

(х — X + X — х) d 2 = О

а значит и весь поверхностный интеграл равен нулю.

4. Рассматривая поле какого-либо вектора а, очень часто для большей наглядности удобно говорить об этом поле, как о поле скоростей некоторой фиктивной жидкости. С этой точки зрения легко уяснить себе смысл ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ

135

названия поверхностного интеграла потоком вектора а; в самом деле, пусть через некоторую площадку, представляемую вектором dS, фиктивная жидкость, полем скоростей которой служит наше поле, вытекает так, что а направлено во вне; за малый промежуток времени Al через площадку </S, очевидно, вытечет объем жидкости в виде цилиндра, основание которого представляется вектором cZS, а ребра векторами аДt; величина этого объема есть как раз аДг-rfS = an&tdS, ибо это скалярное произведение равно величине вектора dS, т. е. площади основания dS цилиндра, помноженной на CLnAt, т. е. на проекцию ребра аД2 на нормаль к этой площади, каковая проекция является высотой цилиндра. Отнесенный к единице времени поток через элемент dS будет a.rfS, а через всю поверхность

^ Si'dS

Если S есть замкнутая поверхность, ограничивающая некоторый объем, то вытекающая жидкость дает положительную часть потока, втекающая — отрицательную. Иначе говоря, если мы проведем линии вектора а, то элементарные площадки поверхности, где эти линии входят з объем, дают отрицательные элементы интеграла, а где выходят — положительные.. Таким образом, поток вектора а указывает количество жидкости, вытекающее из данного объема в единицу времени (если в данный объем жидкость втекает, будет получаться отрицательный поток).

5. Возьмем теперь какую-либо точку поля Р, окружим ее малым объемом V и вычислим поток вектора а через поверхность S, ограничивающую объем V; разделим его на V, чтобы отнести к единице объема, и перейдем к пределу, устремляя к нулю все размеры V, что мы будем обозначать символом V -— 0, стягивая при этом объем V к точке P- В результате получится некоторое число, зависящее от поведения а вблизи точки P и характеризующее степень истечения из области точки Р. Это число называется расхождением вектора а в точке P и обозначается чаше всего символом diva (от слова divergere— расходиться). Таким обравом

(j) <indS

div а = lim (10)

V-Ч) v

т. е. расхождение вектора а есть отнесенный в единице объема поток вектора а через поверхность бесконечно малого объема, окружающего рассматриваемую точку.

Это определение нужно оправдать в том смысле, что нужно показать, что тот предел, которым определяется расхождение вектора а, действительно существует и не зависит от вида объема, который стягивается н точке Р. Мы покажем это, установив аналитическое выражение div а через составляющие вектора а. При этом мы будем предполагать, что частные производные по х, у, z от составляющих вектора ах, Oy, аТ 136

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Гл. Il

существуют и непрерывны, и что поверхность 5 стягивается к точке P равномерно в том смысле, что наибольшее и наименьшее расстояния точек поверхности S до точки P ивляются бесконечно малыми величинами одного порядка, который мы примем за первый, что величина всей поверхности S есть бесконечно малая величина второго порядка, а величина объема V, ограниченного поверхностью S,— бесконечно малая величина третьего порядка.
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed