Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Укажем еще ряд односвязных и многосвязных пространств: пространство внутри или вне сферы очевидно односвязно; пространство между двумя концентрическими сферами тоже односвязно; напротив, внутренность кольца дает, очевидно, двусвязное пространство, ибо после того, как мы проведем меридиональное сечение, оно делается односвязным.
Если в доске сделать два отверстия, то получится трехсвязное пространство, ибо надо сделать два сечения, чтобы сделать его односвязным и т. д. Итак, на пример"1 мы убедились в том, что в случае многосвяв-пого пространства потенциал может быть многозначным и потому линейный интеграл вектора градиента может зависеть от путв интегрирования, в частности интеграл по замкнутому контуру может не равняться нулю. Многозначность потенциала сказывается на графическом представлении поля градиента векторными линиями. Если потенциал однозначен, век-горные линяй его градиента не могут быть замкнутыми, потому что линейный интеграл вдоль такой линии
состоял бы из элементов одного знака (ведь на таком контуре а имеет то же направление, что dt или как раз противоположное) и не мог бы равняться нулю. В случае же многозначного потенциала такие замкнутые векторные линии становятся возможными. Покажем это на только что рассмотренном примере. Составим уравнение векторных линий grad ф:
L
dx aff Sx
dy _ di Эф dip ду Tz
т. е. в нашем случае
da _ dy
— у ~~ X
У
dz_ О градивнт. его свойства
123
или
dz = О, х dx + у dy — О
Отсюда
Z = coast, Xі + у* = coast
Таким образом, векторными линиями grad arc tg — являются круги, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости хОу, в имеющие свой центр на оси z; таким образом, как и следовало ожидать, все замкнутые линии окружают ось z.
6. Понятие потенциального вектора находит себе многочисленнейшие применения в самых разнообразных отделах физики.
Так, например, рассматривая явление теплопроводности, рассматривают ноле температуры Т. Бели в теле, движение тепла в котором изучается, провести малую площадку dS, направление нормалв к которой . есть п, то принимают, что через эту площадку проходит каждую единицу времени количество теплоты, равное
k-^dS
дп
где к — коэффициент теплопроводности, который в различных точках тела может иметь разное значение, т. е. является функцией точки, но не зависит (в случае изотропного тела) от ориентации площадки dS. Отсюда видно, что поток тепла внутри тела характеризуется вектором grad Т.
Точно так же в гидромеханике большую роль играют так называемые потенциальные течения, в которых вектор скорости является вектором і потенциальным
V = grad <р (26)
Функция ф называется при этом часто потенциалом скорости.
Наконец, и электростатике напряжение электрического ноля, т. е. сила, действующая на единичный заряд положительного электричества, тоже является, как установлено из опытных данных, вектором потенциальным
E = — grad ф (27)
где ф называется потенциалом электростатического поля. Если в рассматриваемой точке находится заряд ег, то действующая на него сила F будет пропорциональна »тому заряду, как найдено из опытных данных:
F = ехЕ (28)
В простейшем случае поля, происходящего от находящегося в начале координат заряда е положительного электричества, по закону Кулона мы будем иметь
E = -^r (29)
Отсюда следует, что 124
векторный анализ
Гл. Il
Заметим, что во всех применениях векторного анализа к теории, электричества и магнетизма, которые мы будем делать, мы будем предполагать, что электрические е магнитные явлення происходят в пустом пространстве, т. е. что так называемая диэлектрическая постоянная в и магнитная проницаемость ц равны единице.
Если мы имеем в точках M1, Mt, ... , Mn заряды elt ея, . . . , еп и если расстояния точки P до точек M1, M2, . . . , Mn обозначить через г,, г4,..,гп, то мы получим для потенциала поля, происходящего от этих зарядов, выражение
ф = ^ + + = 2-г <31>
Гі Г2 г» IT1 rI
§ 13. Производная вектора по направлению. Градиент одного вектора по другому
1. Будем теперь иэучать векторное поле некоторого вектора а (г) «=» a (X, у, z)
Иными словами, будем предполагать, что в каждой точке рассматриваемой нами области пространства задан вектор а.
Нашей задачей является рассмотрение различного рода дифференциальных операций с полем вектора а.
Мы видели, рассматривая скалярное поле функции <р, что изменение функции ф в окрестности некоторой точки M характеризуется вектором grad ф. Этот вектор grad ф играет по отношению к функции ф (г) ту же роль, как обыкновенная производная /' (я) некоторой функции / (х) играет по отношению к этой самой функции. С зтой точкв зрения и по отношению к вектору а казалось бы естественным ввести такую величину, которая играла бы роль производной, однако такой подход вывел бы нас за рамки векторного анализа. Дело в том, что в то время, как ф является скаляром, grad ф является уже вектором; подобно этому величина, которая могла бы играть роль производной для вектора а, оказывается уже тензором. Не желая уже сейчас вводить в рассмотрение тензоры, мы должны поэтому несколько ограничить себя. Так, мы подошли к понятию grad ф, рассматривая сначала производную ф по направлению. Сейчас нам придется ограничиться исключительно только рассмотрением производных от вектора а (г) по какому-либо направлению s.
