Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 92. Найти геометрический способ построения касательной к овалам Кассини
Tjr2 = яа
где г, и г2 суть расстояния переменной точки до двух фокусов А я В, воспользовавшись тем, что эти кривые суть линии уровня для функции г,г2.
Ответ. Соединив точку M кривой с фокусами А а В, отложим на продолжении AM от точки M отрезок MK = BM а на продолжении BM отрезок ML = AM. Диагональ параллелограма, построенного на MK и ML, и будет нормалью к овалу Кассини в точке M-
Задача 93. Pa смотреть линии уровня и векторные линии для поля a = grad ф, где ф Ig г, — Ig л2, причем г, и г3 — расстояния переменной точки P до двух фокусов А и B-
Ответ. Линии уровня — окружности Гі/г3 = const, векторные линии — окружности 01 — S2 — const, проходящие через точки А и В.
Задачи 94. Имеется скалярное поле ф в плоскости. Зная производные по двум направлениям OfpZdsl и дфZds2 в некоторой точке M, найти геометрическим построением grad ф в этой точке.
Ответ. Отложим от точки M в направлении S1 отрезок MK = dy/dsL (если 0ф / 0Sj отрицательно, то откладываем отрезок MK = ] бф / Ss1 | в
8 н. Е. Кочив 114
векторный анализ
Гл. Il
направлении, противоположном направлению S1) и восставляем в точке К перпендикуляр KP к MK; аналогично поступаем с направлением S2; если точка пересечения этих двух перпендикуляров есть P, то вектор MP будет но величине и направлению представлять grad ф.
Задача 95. Имеются три заданные точки: M1, M2, M3. Требуется найти такую точку Р, чтобы сумма расстояний M1P + M2P + M4P была минимальной.
Прежде всего ясно, что точка P должна лежать в плоскости M1M3Ms. Введем обозначения M1P = rlt M2P — r2, MiP — г&. Если рассмотреть функцию
Ф = T1 4. r2 4- rs
то ясно, что в окрестности той точки Р, где эта функция принимает минимальное значение, линии уровня должны быть замкнутыми кривыми, охватывающими точку Р, так что в самой точке P необходимо должно быть
grad ф = О
Это приводит к условию
grad T1 4- grad r2 + grad r3 = О
или
Ji + .?L + iL = 0
Pi 'S Гз
Но если сумма трех векторов равна нулю, то из этих векторов может быть составлен замкнутый треугольник. Но в данном случае все три вектора являются единичными, следовательно, треугольник будет равносторонний, а потому все углы его равняются 60°. Поэтому мы приходим к заключению, что искомая точка P обладает тем свойством, что все три угла M1PM2, MJPM2, MaPM1 равны 120°, т. е. все эти отрезки M1M2, M2Ma, MaMj видны из точки P под углом 120°, что дает возможность простого геометрического построения точки P-
Задача 96. Имеются п заданных точек M1 (г{) в пространстве. Требуется найти такую точку P (г), чтобы сумма квадратов расстояний
п
2 MiF*
была минимальной. Ответ:
п
r= V 2ч
1=1.
З а д а ч а 97. Вывести закон преломления света на границе KK раздела двух однородных сред, зная, что коэффициент преломления второй среды относительно первой равен п, и что поэтому свет распространяется в первой среде со скоростью, в п раз большей, чем во второй. Кроме градиент, его свойства
US
того известно, что луч M1PM2 должен иметь такую форму, чтобы время прохождения светом расстояния между точками M1 и M2 было минимальным (фиг. 49).
Бели обозначить M1P = г,, M^P = гг, то задача сводится к нахождению минимума функции
<р = г, + ПГі
если точка P перемещается по кривой KK; но известно, что в точке минимума P должно быть
ЭФ _ о Фнг. 49
а*
если S есть направление касательной к KK в точке Р. Поэтому в точке И вектор grad ф должен иметь направление нормали к KK; но
grad ф = grad rt + п grad r2 = + га
Легко отсюда вывести, что если а — угол падения луча, a? — угол преломления, то
sin а = п sin ?
Задача 98. Вычислить grad (хтуп).
Ответ:
Xm^yn"1 (ту grad х-\-пх grad у)
Задача 99. Дано семейство поверхностей уровня
ф (г) = const
Написать векторное уравнение нормали к поверхности уровня, проходящей через точку Mn (г0), и уравнение касательной плоскости в этой точке.
Ответ. Уравнение нормали
(г — г0) X grad ф = О уравнение касательной плоскости
(г — r0).grad ф = О
где значение grad ф берется в точке M0.
Задача 100. Показать, что grad ф есть полярный вектор.
3. Вектор, являющийся градиентом некоторого скаляра ф, называется потенциальным вектором, а поле такого вектора называется потенциальным. Величина же ф называется потенциалом.
Б* 116
векторный анализ
Гл. Il
Потенциальные векторы обладают особыми, характеризующими их свойствами, связанными с понятием линейного интеграла вектора вдоль некоторой кривой.
Пусть нам задано векторное поле вектора а; возьмем какую-нибудь кривую L, соединяющую две точки Ma (г„) и Mx (T1)j разобьем ее на бесконечно малые элементы, которые заменим хордами dr, составим далее скалярные произведения a.rfr, где а есть вектор поля, отвечающий началу вектора dt. Составим далее сумму всех таких скалярных произведений и перейдем к пределу, устремляя все элементы dt к нулю. Полученный предел называется линейным интегралом вектора а вдоль кривой Lh обозначается через
