Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Ps = -MK'
OS
Отметим еще, что если единичный вектор нормали к поверхности уровня обозначить через п, а производную от функции ф по направлению
этой нормали через ~ , то, очевидно, будет
„
то, очевидно, gradф=
дп градиент-. его свойства
107
Из формулы
0 = s.gradq)
вытекает, если через rfr = s ds обозначить бесконечно малый вектор, идущий из точки M в направлении s, следующее соотношение:
d<p = ds — a cfc-grad <p = dr.grad ф
Иначе это соотношение можно получить следующим образом. Напишем выражение полного дифференциала функции <р
-й-**+"S-^+-SM«
Но, с другой стороны, мы имеем
dr = і dx + j dy 4- k dz
Составляя по известному правилу скалярное произведение этих двух векторов, мы легко получим
dy = dr grad <p (11)
Это соотношение характерно для grad <р. Если мы найдем такой вектор а, что для произвольного dr будет
dy = dr. а (12)
то можем утверждать, что a = grad <р, ибо d<р = dr«a = dr.grad <р приводит к соотношению dr.(а— grad ф) = 0; откуда видно, что а — grad <р перпендикулярно к любому направлению, что может быть только, если a = grad ф.
2. Разберем несколько примеров вычисления градиента. Самым важным случаем является тот, когда ф зависит только от расстояния точки до некоторой определенной точки, которую мы выберем за начало координат. Итак, пусть
<Р - Ф M (13)
Поверхностями уровня служат концентрические сферы с центром в начале координат. Нормаль к поверхности уровня совпадает с радиусом-вектором, поэтому по величине grad ф равен
1-^гНф»!
а направлен grad ф в ту сторону, куда ф возрастает, т. е. при положи-, тельном ф' (г) ортом grad ф служит а при отрицательном ф' (г) ортом
grad ф является--- . 108
векторный анализ
Гл. Il
Таким образом, всегда будет
grad ф (г) = ф' (г) -I (14)
Этот же результат можно вывести и непосредственным вычислением, рассматривая ф, как сложную функцию х, у, 2, заданную черев посредство Fl
дф _ d(f дг
дяс dr ~дх
Но
V*+у* + *, =
2х
2 /зг> + у* -J- г» г Поэтому
дф г Ap дф у rfqj дф г d<f
дх г dr ' ду г dr ' dz г dr
и значит,
grad ср = і -?- 4- j^+ к =.^--1
6 ~ дх J ду дг г dr dr г
Наконец, мы можем вычислить grad ф (г) и третьим способом, опираясь на формулу (12). Для этого составляем
<&р (/¦) = ф' (г) dr
Но, с другой стороны, заметим, что, так как
г.Г = /¦»
то
d (г. г) = 2 (r.dr) — 2г dr
Следовательно,
Поэтому
dr = i-(r.rfr)
?Йр (/¦) = ^ т-dt
Отсюда, в силу сказанного о формуле (12), сразу можем написать grad ф (г) = JLi^ г
Принимая, например
Ф W - у. **
легко докажем, что
grad г = -Ї- (15)
grad т = - ^r (16)
grad г" =в пгч*аг (17) градиент-. его свойства
109
Прежде чем переходить к другим примерам, докажем основные в теории градиента формулы
grad (ф + ф) = grad Ф + «rad ip (18)
grad (фф) = <p grad ф + ф grad <p (19)
grad F (ф) = F' (ф) grad ф (20)
Эти формулы являются почти очевидными, ибо, проектируя, например, обе части равенства (18) на какое-либо направление в, мы получаем
as ds ds
что, очевидно, представляет собой тождество — производная суммы равна сумме производных.
Однако, несмотря на свой простой характер, формула (18) является очень важной, потому что на ней основано сложение векторных полей.
Бели мы имеем два вектора а а Ь, являющихся градиентами двух функций
a = grad ф, Ь — grad ф
то вектор
с = а + Ь
будет градиентом функции
X = Ф + ф
Пусть теперь мы имеем поверхности уровня функции ф, построенные для равноотстоящих значений ф:
<р =» . . . , ф0 — За, ф0 — 2а, ф0 — а, ф„, ф0 + а, ф0 + 2а, ф0 + За, . . .
и поверхности уровня функции ф, построенные для равноотстоящих значений ф, с той же разностью а между двумя смежными значениями
Ф — - - • . Фо ~ За, ф0 — 2а, ф0 — а, ф0, ф0 + а, ф0 + 2а, ф0 + За, . . .
Тогда на поверхности уровня ф + ф = <рв + ф0 будут-лежать линии пересечения поверхностей
Ф = ф„ и ф = ^0
ф = ф„ + а и ці = ір0 — а
ф = Ф„ — а в ф = ф0 + а
Точно так же поверхности уровня ф+ф = ф0+ф„ + а будут принадлежать линии пересечения поверхностей
Ф=Ф„ + а и ф = ф0 ф = ф0 и ф = Ip0 + а ио
векторный анализ
ГЛ. II
Отсюда вытекает приближенный способ построения поверхностей уровня функции X, который щ поясним фиг. 46. На этом чертеже нанесены линии уровня двух семейств
ф = const, ф = const
Линии уровня
X = const
получаются, если провести диагональные кривые для получившейся серии криволинейных четырехугольников: легко сообразить, что диагональные кривые другой системы (пунктирные) являются линиями уровня
В качестве примера возьмем в плоскости два фокуса А и В; расстояние переменной точки P до фокуса А обозначим через п, а расстояние той же точки до фокуса В обозначим через rs.
Бели теперь ВЗЯТЬ ф = T1, то линиями уровня функции ф будут служить концентрические окружности с центром в точке А; точно так же для ip = г3 линиями уровня будут концентрические окружности с центром в точке В.
Если теперь, по предыдущему правилу, построить линии уровня функции X = ф -Ь \|> = г, + г2, то мы, очевидно, получим эллипсы с фокусами А и В', в качестве же линий уровня функции х = Ф — 'Ф = ri — га получатся, очевидно, гиперболы с теми же фокусамц.
