Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Переходя к вычислению div а в точке Р, примем последнюю на врем» за начало системы координат 0\ нам надо вычислить
ф andS = ф [ах cos (n, х) + Ov cos (п, у) + Ot cos (n, z)]dS
S S
Вычислим
ф аг (X, у, z) cos (n, г) dS
S
Так как поверхность S стягивается к началу координат, то на этой поверхности X, у, г — бесконечно малые величины. По формуле Тейлора, ограничиваясь первыми членами разложения, мы имеем
аг (X, у, z) = аг (О, 0, 0) +
где индекс О указывает, что нужно брать значения производных в начале координат и C1, е2, еа означают бесконечно малые величины.
Умножая обе части предыдущего равенства на cos (n, z) dS и интегрируя по замкнутой поверхности S, получим, вынося еще постоянные множители за знак интегралов,
§
at (х, у, z) cos (n, z) dS =
s
= (flz)o |> cos (n, z)dS + X cos (n, z) dS + (^q <? у cos (n, z) dS -f
Ss s
+ (j?)0 § 2 cos (n, z) dS + ф (Xe1 + уE2 + Z8S) cos (n, z) dS
S
Ho мы имели, что
® cos (a, z) dS — ф X сое (n, z)dS = Q у cos (a, z) dS = 0 as s
<|> z cos (n, z) dS =V
Наконец
(X8j + ye2 + zsa) cos (n, z) dS = eV ПОТОК ВеКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ
137
где в — бесконечно малая величина, ибо х, у, г — бесконечно малые первого порядка, полная поверхность S — бесконечно малая второго порядка и V — бесконечно малая третьего порядка. Итак,
ф а: (х, у, z) cos (n,, z) dS = (J^)0 V + eV
s
Точно так же найдем
ф ах (і, у, z) cos (а, х) dS = (Js)o V + ZfV
я
$ Ov (x, у, Z) cos (n, y)dS~ (? V + S-V
S
где є' и s" — бесконечно малые величины- Следовательно,
Деля это равенство на V и переходя к пределу при V —> 0, сразу увидим, что в точке P
5? + ? + ? (11)
Эта имеющая основное значение формула доказывает существование предела (10), независимого от вида объема V, и дает величину этого предела (от наложенных на объем V ограничений мы можем, как показано ниже, освободиться).
Так как основное определение div а совершенно не зависит от выбора системы координат, то выражение (11) для div а инвариантно по отношению ко всем переходам от одной прямолинейной прямоугольной координатной системы к другой, в чем можно убедиться, впрочем, в непосредственным вычислением.
6. Важнейшая теорема, связанная с понятием расхождения вектора, есть теорема Гаусса — Остроградского о преобразовании поверхностного интеграла в объемный:
Поток вектора через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от расхождения вектора:
ф andS = ^ div a dV (12)
s V
Чтобы показать справедливость этой формулы, мы поступим, как часто это делается в математике, следующим образом: мы докажем, что формула (12) верна сколь угодно приближенно. В самом деле, выберем малое число г; разобьем V на столь малые элементы Vk, в сумме составляющие V, что для каждого из них имеет место неравенство
І- andS — div а
V
< е 138
векторный анализ
Гл. П
где Sk- поверхность Vk и значение div а берется в некоторой точке Ffc. Сложим все эти неравенства, умножив их предварительно на Fa, тогда получим:
<f>a„a!5-2divaVfc < є = sF
s * *
ибо те части поверхностных интегралов, которые относятся к элементам поверхностей Sk, не входящим в S, попарно сократятся. Всякий такой элемент должен являться границей двух смежных Vkt причем, как граница одного или другого из этих объемов, он имеет внешние нормали п' и и* =s — и' прямо противоположного направления, а потому
O71' = — о„', a„'dS + an"dS = О Увеличивая к до бесконечности, a Vk уменьшая до нуля, получим:
ф а„ dS — ^ div a cfF
CeF
8 V
и так как є мы можем выбирать сколь угодно малым, то непременно
On = ^ div a dV
В V
В аналитической форме теорема Гаусса — Остроградского имеет вид ф [ах cos (n, х) + a,, (cos п, у) 4- аг cos (п, z)] dS —
=Л f^ + Ulv + ^W (13)
Ввиду фундаментального значения формулы Гаусса — Остроградского« мы дадим еще непосредственный вывод. этой формулы.
Пусть имеем замкнутую поверхность S, которая прямыми, параллельными координатным осям, пересекается в конечном числе точек, и пусть IP (я, У і z) — функция, имеющая непрерывные производные
дф ~дх •
Эу '
Эф
эГ
Тогда имеют место формулы
^gofF = ^cos(n, x)dS
v S
5 = <§>ф COS (n, y) dS
V S
^ |?dF = ^9COS (n, z) dS
(14) I i4 поток BKKToPA через поверхность 139
Докажем последнюю из них. Метод доказательства будет тот же, которым мы пользовались при вычислении интегралов в п. 3. Если мы спроектируем объем V (фиг. 51) на плоскость Оху, то в проекции получим некоторую площадь 2. Возьмем элемент rfZ этой площади с ребрами, параллельными осям х и у, и построим на этом элементе цилиндр с образующими, параллельными оси z. Этот цилиндр вырежет из нашего объема V некоторую часть; пусть, например, это будет, как изображено на фиг. 51, часть объема V, заключенная между элементами поверхности S, находящимися в точках M1 и Ma, и часть объема V, заключенная между элементами поверхности S, находящимися в точках Ma и M1. Та часть объемного интеграла
V
которая происходит от части объема, вырезаемой цилиндром, равна, очевидно,
